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La cycloïde

en collaboration avec Elena Zernyshkina

Vous souvenez vous de ces cataphotes en plastique orange, qu’on accrochait aux rayons des roues du vélo? Nous accrochons le cataphote à la jante et en suivrons la trajectoire. Les courbes ainsi obtenues appartiennent à la famille des cycloïdes.

La roue est appelée dans ce cas «cercle générateur de la cycloïde».

Mais revenons au siècle présent et déplaçons nous par un moyen plus modern. Sur le trajet d’une motocyclette il y a un caillou qui s’est collé au pneu de la roue postérieure. Il tourne avec le roue un certain nombre de fois et enfin il se détache du pneu: dans quelle direction volera–t–il? En direction opposée à celle de la marche ou dans la même direction?

Comme on le sait, le mouvement d’un corps libre commence en direction de la tangente à la trajectoire le long de laquelle il bougeait. La tangente à la cycloïde est toujours directe dans le sens de la marche et passe par le point plus haut du cercle générateur. Notre caillou se déplacera donc dans la direction de la motocyclette.

Vous souvenez vous quand vous étiez des garçons et traversiez les flaques d’eau sur un vélo sans les garde–boue arrière? Une bande mouillée sur votre dos était une confirmation de ce que nous venons d’obtenir.

Le XVIIe siècle a été le siècle de la cycloïde. Les plus grand scientifiques de cette époque étudièrent ses propriétés extraordinaires.

Quelle est la trajectoire d’un corps qui, sous l’action de la gravitation, bouge entre deux points donnés, dans le temps le plus bref? Cette ci a été une de premières questions d’une discipline qui s’appelle maintenant calcul des variations.

On peux minimiser (ou maximiser) des choses différentes, la longueur d’un trajet, la vitesse, le temps. Dans le problème de la brachistochrone on minimise exactement le temps (comme son nom l’indique: en grec brachistos signifie ’le plus bref’, chronos signifie temps).

La première chose qui vient à l’esprit est une ligne droite. Mais nous considérons également une cycloïde retournée avec le point de rebroussement qui coïncide avec le plus haut de deux points donnés. Enfin, selon Galilée, nous considérons aussi un arc de cercle joignant les deux points, de 90 dégrées d’ouverture.

Nos allons construire trois pistes de bob ayant par profil les trois courbes considérées et allons observer lequel des traineaux arrive en premier.

L’histoire du bob commence en Suisse. En 1924 les premiers jeux olympiques d’hiver ont lieu à Chamonix en France, avec équipes de deux et de quatre personnes. Seulement en 1928 l’équipe était composée de cinq hommes. Depuis cette année le bob a été toujours de deux ou de quatre. Parmi les règles du bob il y a des choses intéressantes. Naturellement, il existe une limite de poids soit pour le traineau soit pout l’équipe, mais il existe aussi des restrictions sur les matériaux à utiliser pour les patins (la paire de patins à l’avant est mobile et est relié au gouvernail, la paire arrière est fixe).

Donnons le départ à nos bobs à quatre. Lequel des trois arrivera à la ligne d’arrivée en premier? Le bob vert, commandé par les Etudes Mathématiques, suivant la piste de la cycloïde, est arrivé en premier!

Mais pourquoi Galilée avait examiné le quart de cercle, croyant qu’il aurait réduit le temps de la descente? Il avait inscrit dans l’arc de cercle une ligne polygonale, brisé, et avait observé que le temps de descente s’accourcissait comme le nombre d’éléments de la polygonale augmentait. De cette façon Galilée est arrivé à l’arc de cercle, mais à tort il a tiré la conclusion que cette trajectoire est la meilleure de toutes les trajectoires possibles. Comme nous l’avons vu, la cycloïde est meilleure. Et, par le calcul des variations, on démontre que la cycloïde est la meilleur parmi toutes les courbes possibles.

Entre deux points donnés on peut tracer une seule cycloïde, à la condition que le point le plus élevé coïncide avec le point de rebroussement. Même lorsque la cycloïde a un morceau de montée, pour atteindre le second point, la cycloïde sera toujours la courbe entre les deux points qui est parcourue dans le temps le plus bref!

La cycloïde possède encore une propriété intéressante, qui concerne le problème de la tautochrone. Toujours en grec, tautos signifie même, et chronos, comme nous le savons, temps.

Nous construisons trois pistes de bob identique au profil de la cycloïde, de sorte que le point le plus bas, à la ligne d’arrivée, coïncide avec le sommet de la cycloïde (c’est à dire le point maximal de la cycloïde, avant d’être retournée). Posons trois traineaux à trois hauteurs différentes et donnons le départ. Fait surprenant: les bobs atteignent l’arrivée les trois à la fois!

Зи­мой Вы мо­же­те по­стро­ить во дво­ре гор­ку изо льда и про­ве­рить это свой­ство вжи­вую.

Le problème de la tautochrone consiste à trouver une courbe de façon que, à partir de n’importe quel point de celle–ci, le temps de descente jusqu’à un point donné est le même.

Christiaan Huygens démontra que la cycloïde est la seule courbe tautochrone.

Bien sûr, Huygens ne s’intéressait pas aux descentes sur la glace. A cette époque, les scientifiques ne connaissaient pas le luxe de s’occuper de sciences pour plaisir. Les problèmes venaient de tenter de résoudre les problèmes techniques de leur temps. Au XVIIe siècle on faisait déjà de longs voyages en mer. C’est surprenant que les marins savaient comment définir la latitude assez précisément, mais ils ne savaient pas vraiment comment calculer la longitude. Et l’une des méthodes de mesure qui ont été offerts était basée sur la disponibilité des chronomètres précis.

Le premier savant qui a pensé de construire un pendule exacte a été Galilée Galilei. Cependant, à cette époque, quand il a commencé à le construire, le scientifique était déjà vieux, presque aveugle et ne réussit pas, dans la dernière année de sa vie, à construire l’horloge. Il confia son projet à son fils, mais celui–ci n’a commencé à s’occuper du pendule que juste avant sa mort, sans être en mesure de réaliser le projet. Le savant qui réussit enfin à réaliser le projet d’un pendule exacte fut Christiaan Huygens.

Il remarqua que la période d’oscillation d’un pendule commune, tel que Galilée l’avait observé, dépend de la position initiale, c’est–à–dire, de l’ouverture de l’angle. En cherchant la courbe sur laquelle la trajectoire du mouvement du poids devrait se développer, de sorte que la période d’oscillation le long d’elle ne dépend pas de l’ouverture, il résolut le problème de la tautochrone. Mais comment pouvons–nous accrocher un poids et arriver à le faire osciller le long d’une cycloïde? Traduisant en pratique les résultats obtenus en théorie, Huygens construit deux “côtés”, sur lesquels la corde du pendule s’enroule. Il résolut de cette manière d’autres problèmes mathématiques. Il montra que les profils des “côtés” doivent être eux–mêmes des cycloïdes, démontrant que la courbe évolué d’une cycloïde est encore une cycloïdes e avec les mêmes paramètres.

En outre, la construction du pendule cycloïdal proposé par Huygens permet de calculer la longueur de la cycloïde. Si la corde, dont la longueur est quatre fois le rayon du cercle générateur de la cycloïde, est toute reposant sur le côté, son extrémité est située à la jonction entre le profil du côté cycloïdal avec la trajectoire. Ce point est le sommet de la cycloïde, profil du côté. Puisque ce profil est la moitié d’un arc entier de la cycloïde, la longueur de la cycloïde (entre deux points cuspidaux) est huit fois le rayon du cercle générateur.

Christiaan Huygens construisit en fait le pendule cycloïdal, et avec lui une montre. Son fonctionnement a été testé en mer, mais à la fin n’obtint pas succès.

Mais pourquoi il y a encore des mécanismes d’horloges à pendule? Si vous prêtez attention, alors pour de petites oscillations, (comme le pendule rouge dans la figure), les "côtés" du pendule cycloïdal n’ont presque aucune influence. Par conséquent, pour petites amplitudes, le mouvement le long de la cycloïde, et celui le long de la circonférence sont quasiment identiques.

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