Developpement

Qu’est-ce donc que le développement d’un polyèdre?

Vous diriez que c’est un morceau de carton à partir duquel on peut former un polyèdre donné. C’est en partie vrai, mais ce n’est pas toute la vérité. Il est montré que la notion de développement contient beaucoup plus qu’un simple morceau de carton.

Quel polyèdre peut-on former à partir de la célèbre croix latine? Bien sûr, un cube. Pour cela, il faut colorer les arêtes, comme l’a fait le pinceau magique (les arêtes d’une seule couleur se collent sur le polyèdre, les unes aux autres).

En fait, bien sûr, il aurait été préférable de colorer non pas les arêtes, mais chaque paire de points de différentes couleurs.

On pose, comme on dit en mathématiques, les conditions de collage des côtés.

Après avoir posé les conditions de collage, les arêtes passant à l’intérieur du morceau de carton, définies à un chiffre, selon le théorème de A.D. Alexandrov.

Ainsi, on peut plier la croix pour faire un cube. Mais il apparaît que si les conditions de collage des côtés sont posées différemment, alors on peut obtenir tout à fait autre chose qu’un cube!

Notre pinceau magique a coloré les arêtes de cette façon. Encore un battement et nous connaissons déjà comment ont été définies les arêtes à l’intérieur du morceau de carton. Si maintenant, suivant la condition dessinée de collage, on plie un polyèdre, alors on obtiendra une pyramide!

Il n’y a pas si longtemps qu’on a démontré qu’en donnant des conditions différentes de collage des côtés d’une croix latine, on peut la plier en cinq types de polyèdres convexes.

Ainsi, comme on a pu s’en convaincre, la notion de développement inclut, non seulement un morceau de carton, mais également les conditions de pliage de ses côtés. Si les dernières ne sont pas définies, alors on peut obtenir, à partir de n’importe quel morceau, des polyèdres convexes différents.

References

A.D. Alexandrov. Convex Polytopes. (in Russian)

Anna Lubiw, Joseph O'Rourke. When Does a Polygon Fold to a Polytope.

E. Demaine. 85 variants of the Latin cross folding. (in Russian)

N.P. Dolbilin. Three theorems on polyhedra. (in Russian)
  Parte 1 / / Kvant. 2001. N 5. p. 7-12.
  Parte 2 / / Kvant. 2001. N 6. p. 3-10