Il meccanismo paradossale di Chebyshev

Quali immagini può realizzare l’applicazione mostrata in figura, con una cerniera fissa (in rosso)?

Lasciamo che la cerniera marcata in grigio scorra lungo una curva, simmetrica rispetto a una retta passante per la cerniera fissa. Si può dimostrare che in questo caso anche la traiettoria della cerniera blu sarà simmetrica rispetto a una retta, passante per la cerniera fissa. Il matematico russo Pafnutiy Lvovich Chebyshev si pose il problema di trovare quale sia, in diversi casi, questa traiettoria.

Un caso particolare e importante si presenta quando la traiettoria grigia è un cerchio. In pratica viene realizzato aggiungendo un'altra cerniera fissa (in rosso) e una barra guida di una certa lunghezza.

Per la traiettoria blu ci sono due casi importanti: quando è un segmento di retta, e quando è un cerchio, oppure un suo arco.

Chebyshev scrive: “Qui passeremo in rassegna i casi più semplici, e anche più frequenti nella pratica, precisamente quando ci si prefigge di muoversi lungo una curva, di cui una parte, più o meno significativa, si differenzia di poco da un arco di cerchio o da una linea retta.”

Proprio per individuare i parametri migliori di questo meccanismo che risolve i problemi elencati, Chebyshev applicò per la prima volta la teoria dell’approssimazione di funzioni, che egli stesso aveva sviluppato studiando il parallelogramma di Watt.

Scegliendo opportunamente la distanza tra le cerniere fisse, la lunghezza della barra guida, e anche l’angolo tra le due barre, Chebyshev ottenne una traiettoria chiusa, che si allontana di poco da un segmento di linea retta. La deviazione della traiettoria da una rettilinea può essere diminuita, cambiando i parametri del meccanismo. Tuttavia, questo porterà anche a una diminuzione della lunghezza del percorso tracciato dalla cerniera blu. Essendo questa diminuzione più lenta che la diminuzione della deviazione dal percorso rettilineo, nei problemi pratici è sempre possibile trovare dei parametri soddisfacenti. Questa è una delle varianti dei meccanismi di approssimazione al righello, proposta da Chebyshev.

Passiamo al caso in cui la curva blu è simile a un cerchio. Considerando il caso quando le barre sono sulla stessa retta, giungiamo a un meccanismo simile alla lettera greca “lambda”. Chebyshev lo usò con appropriati parametri per costruire la prima “macchina plantigrada”. In questo caso la curva blu era simile al cappello di un fungo. Scegliendo i parametri del meccanismo a lambda diversamente, si può ottenere una traiettoria, che è tangente alternativamente a due cerchi concentrici, rimanendo tutto il tempo tra l’uno e l’altro. Cambiando di poco i parametri del meccanismo, siamo in grado di ridurre la distanza tra questi cerchi concentrici, tra i quali la traiettoria blu continua a trovarsi.

Ultimiamo la costruzione del meccanismo a lambda, aggiungendo una cerniera fissa e due barre, la somma delle cui lunghezze è uguale al raggio del cerchio maggiore, e la differenza al raggio minore.

Il dispositivo risultante ha dei punti di biforcazione o, in altre parole, dei punti singolari. Trovandosi in uno di questi punti, per lo stesso movimento del meccanismo a lambda in senso orario, le barre aggiunte possono incominciare a ruotare sia in senso orario, sia in senso antiorario. Di tali punti di biforcazione il nostro meccanismo ne possiede sei, esattamente quando le barre aggiunte si trovano sulla stessa linea retta.

Esiste un settore importante della matematica – la teoria delle singolarità – cioè lo studio di un oggetto attraverso l’analisi dei suoi punti singolari. Un caso particolare molto semplice consiste nello studio del comportamento delle funzioni attraverso l’analisi dei loro punti di massimo e di minimo.

Affinché il nostro meccanismo passi attraverso tutti e sei i punti singolari in un verso scelto all’inizio, la barra piccola è connessa a un volano, il quale, mosso in un certo senso, guiderà il meccanismo a ruotare nello stesso senso a tutti i punti singolari.

Se il volano viene mosso dal punto di biforcazione, così come la barra guida, in senso orario, allora ad ogni giro della barra guida il volano farà due giri.

Se invece il volano viene mosso dal punto di biforcazione in senso antiorario, allora ad ogni giro della barra guida il volano farà quattro giri!

In ciò sta il paradosso di questo meccanismo, inventato e realizzato da Pafnuty Chebyshev. Sembrerebbe che un meccanismo girevole planare debba funzionare in modo univoco, e invece, come abbiamo visto, non è sempre così. E la ragione è la presenza di punti singolari.