La macchina plantigrada di Chebyshev

Dal momento in cui James Watt inventò la macchina a vapore, è sorto il problema di costruire un meccanismo che trasformasse il movimento circolare in uno lineare.

Il grande matematico russo Pafnutiy Lvovich Chebyshev non risolse il problema iniziale, tuttavia, nello studiarlo, sviluppò la teoria delle approssimazioni delle funzioni e della costruzione di meccanismi. Applicando quest’ultima, avrebbe potuto scegliere i parametri di un meccanismo a lambda in modo che... Ne parleremo fra poco.

Ci sono due cerniere in due punti fissi (marcati in rosso) e tre barre. La barra più lunga è il doppio di quella media, che ha una cerniera nel punto fisso ad una estremità, mentre all’altra estremità è fissata con una cerniera al punto medio della barra lunga. Per la sua forma, simile alla lettera “lambda” dell’alfabeto greco, questo meccanismo prende il nome di meccanismo a lambda. La cerniera marcata in grigio muove lungo un cerchio, e di conseguenza la cerniera libera marcata in blu descrive una traiettoria simile al profilo del cappello di un fungo.

Sulla traiettoria circolare della cerniera guida (in grigio) mettiamo dei segni a intervalli regolari. In corrispondenza di essi mettiamo dei segni sulla traiettoria della cerniera libera.

Al tratto inferiore del “cappello” corrisponde la metà di un giro della cerniera guida (grigia). Inoltre, questo tratto è pressoché piatto, la differenza della sua inclinazione da una retta è una frazione di percento della lunghezza della barra più corta (il raggio della circonferenza).

Ma a cosa è simile, oltre che al cappello di un fungo, la traiettoria blu? Thchebyshev notò la somiglianza con la traiettoria del moto di uno zoccolo di cavallo!

Attacchiamo al meccanismo una gamba con un “piede”. Alle sue cerniere situate ai punti fissi attacchiamo un altro meccanismo simile, completo di gamba con piede, ma sfasato di mezzo giro rispetto al primo. Aggiungiamo dunque una copia speculare di questo doppio meccanismo appena costruito. Infine aggiungiamo due barrette uguali che uniscono tra loro le coppie simmetriche di perni rotanti lungo cerchi (in modo che questi ultimi ruotino in fase, mentre le due coppie siano sfasate di mezzo giro), e una barra centrale che unisce tra loro in orizzontale le quattro cerniere (marcate in rosso) nei punti fissi. Abbiamo così ottenuto, come dicono in meccanica, lo schema cinematico del primo meccanismo al mondo che cammina.

Pafnutiy Lvovich Chebyshev, mentre era professore all’università di S.Pietroburgo, passò gran parte del suo tempo nella costruzione dei meccanismi che aveva inventato. Egli realizzò in legno e ferro il meccanismo che abbiamo descritto, e lo chiamò “macchina plantigrada”. Questo meccanismo, che effettivamente fu il primo al mondo capace di camminare,     ricevette l’approvazione generale all’Esposizione Mondiale di Parigi del 1878.

Grazie al Museo Politecnico di Mosca, che conserva l’originale di Chebyshev, e ha permesso agli “Studi Matematici” di misurarlo, abbiamo la possibilità di vedere in azione un preciso modello 3–D della macchina plantigrada di Pafnutiy Lvovich Chebyshev.

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