Uscire nello spazio

in collaborazione con S. Markelov

Vivendo sulla superficie della Terra, gli uomini credettero per lungo tempo che essa fosse piatta. Fu necessaria la costruzione di teorie scientifiche per capire che la Terra è simile a una sfera. E soltanto nella seconda metà del XX secolo gli uomini poterono constatarlo coi propri occhi, quando guardarono la terra dallo spazio.

Una cosa simile avviene in matematica: spesso è possibile imparare molto di più su un oggetto, uscendo fuori dallo spazio in cui esso è immerso.

Consideriamo tre cerchi arbitrari in un piano e, per ogni coppia di questi cerchi, tracciamo due rette tangenti ad essi, e osserviamo i loro punti di intersezione. (Per ognuna di queste rette i cerchi tangenti devono stare nello stesso semipiano). Cosa possiamo dire sui tre punti di intersezione? A giudicare dalla figura, essi giacciono su di un’unica retta. Tuttavia una figura non è una dimostrazione, ma dà solo uno spunto per formulare una congettura. Cerchiamo di dimostrarla.

Il problema considerato è un problema di geometria piana. Ma osserviamo questo problema dal di fuori, cioè dallo spazio tridimensionale.

Costruiamo tre sfere nello spazio, in modo che i loro equatori siano proprio i nostri cerchi di partenza. Consideriamo tre coni, tangenti ognuno a una coppia di sfere. Le tangenti ai cerchi che abbiamo tracciato sono delle generatrici di questi coni. E i punti che, secondo la nostra congettura, stanno su una linea retta, sono i vertici di questi coni.

Ora posiamo un piano su questi coni. Le generatrici di questi coni che si trovano più in alto saranno tutte tangenti a questo piano, che esse definiscono univocamente. I punti che ci interessano, ossia i vertici dei coni, appartengono a questo piano, come anche al piano iniziale dei cerchi equatoriali. Ma due piani non paralleli si intersecano lungo una retta! Perciò, proprio come era stato ipotizzato, i punti di intersezione delle coppie di tangenti a tre cerchi arbitrari nel piano giacciono su di un’unica retta.

Questo teorema che ormai abbiamo dimostrato prende il nome da un matematico francese, Gaspard Monge.

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