Ан­ти-Дю­рер

совместно с Николаем Петровичем Долбилиным

Аль­брехт Дю­рер (Albrecht Dürer, 1471—1528) — ве­ли­кий немец­кий ху­дож­ник. Он за­ни­мал­ся и тео­ре­ти­че­ски­ми во­про­са­ми изоб­ра­зи­тель­но­го ис­кус­ства, в част­но­сти, изу­чал про­бле­мы пер­спек­ти­вы. Часть сво­ей кни­ги «На­став­ле­ния в ис­кус­стве из­ме­ре­ний с по­мо­щью цир­ку­ля и ли­ней­ки, плос­кие и про­стран­ствен­ные те­ла» 1525 го­да он по­свя­тил изу­че­нию свойств гео­мет­ри­че­ских объ­ек­тов, в том чис­ле, мно­го­гран­ни­ков и их раз­вёр­ток.

Рё­бер­ная раз­вёрт­ка мно­го­гран­ни­ка со­сто­ит из на­бо­ра мно­го­уголь­ни­ков, рас­по­ло­жен­ных без пе­ре­се­че­ний в од­ной плос­ко­сти, и усло­вий склей­ки гра­ниц этих мно­го­уголь­ни­ков. Ес­ли ка­кое-то раз­ре­за­ние мно­го­гран­ни­ка по рёб­рам поз­во­ля­ет обой­тись од­ним мно­го­уголь­ни­ком, при этом не на­ру­шив усло­вия непе­ре­се­че­ния, то та­кая рё­бер­ная раз­вёрт­ка на­зы­ва­ет­ся связ­ной.

На стра­ни­цах сво­ей кни­ги Дю­рер при­во­дит связ­ные рё­бер­ные раз­вёрт­ки несколь­ких, ино­гда до­воль­но слож­ных, мно­го­гран­ни­ков. Вряд ли он за­ду­мы­вал­ся над тем, все­гда ли это воз­мож­но и хва­та­ет ли для изоб­ра­же­ния раз­вёрт­ки од­но­го мно­го­уголь­ни­ка, но сле­ду­ю­щее пред­по­ло­же­ние ча­сто на­зы­ва­ют его име­нем. Ги­по­те­за Дю­ре­ра со­сто­ит в том, что лю­бой  вы­пук­лый мно­го­гран­ник име­ет хо­тя бы од­ну связ­ную рё­бер­ную раз­вёрт­ку.

По­че­му же раз­вёрт­ки мно­го­гран­ни­ков вы­зы­ва­ют не про­хо­дя­щий на про­тя­же­нии сто­ле­тий ин­те­рес? Де­ло в том, что раз­вёрт­ка со­хра­ня­ет внут­рен­нюю гео­мет­рию мно­го­гран­ни­ка, а имен­но, ту ин­фор­ма­цию, ко­то­рую мо­жет по­лу­чить то­чеч­ное су­ще­ство, жи­ву­щее на по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка и не уме­ю­щее её по­ки­дать. При та­ких усло­ви­ях жиз­ни су­ще­ство име­ет воз­мож­ность лишь из­ме­рять рас­сто­я­ние меж­ду точ­ка­ми. При на­ли­чии ма­те­ма­ти­че­ских спо­соб­но­стей су­ще­ство, ис­поль­зуя рас­сто­я­ния, мо­жет опре­де­лять уг­лы меж­ду на­прав­ле­ни­я­ми, счи­тать пло­щадь ка­кой-то об­ла­сти…

Для неко­то­рых це­лей ис­поль­зо­ва­ние раз­вёрт­ки «удоб­нее», неже­ли ис­поль­зо­ва­ние са­мо­го мно­го­гран­ни­ка. На­при­мер, ес­ли вы хо­ти­те пе­ре­слать мо­дель мно­го­гран­ни­ка в дру­гой го­род, то необ­хо­ди­мо от­пра­вить по­сыл­ку. Но для то­го чтобы по­слать раз­верт­ку мно­го­гран­ни­ка, до­ста­точ­но от­пра­вить все­го лишь пись­мо, по­лу­чив ко­то­рое адре­сат смо­жет со­брать вы­пук­лый мно­го­гран­ник са­мо­сто­я­тель­но. Ес­ли вы ду­ма­е­те, что транс­пор­ти­ров­ка мно­го­гран­ни­ков — это ред­ко встре­ча­ю­ща­я­ся опе­ра­ция, то оши­ба­е­тесь! Ре­зуль­тат это­го дей­ствия все мы ис­поль­зу­ем в по­все­днев­ной жиз­ни, по­ку­пая па­кет со­ка или мо­ло­ка…

Ги­по­те­за Дю­ре­ра го­во­рит о вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ках. Она не до­ка­за­на и не опро­верг­ну­та и по сей день. Но ес­ли из­на­чаль­ная на­уч­ная про­бле­ма не под­да­ет­ся ре­ше­нию, сто­ит из­ме­нить ка­кие-то усло­вия и по­пы­тать­ся ре­шить по­лу­чив­шу­ю­ся за­да­чу. В на­шем слу­чае есте­ствен­но изу­чить ана­лог ги­по­те­зы для бо­лее ши­ро­ко­го клас­са мно­го­гран­ни­ков, вклю­чив в рас­смот­ре­ние и невы­пук­лые мно­го­гран­ни­ки.

По­стро­ить невы­пук­лый мно­го­гран­ник с не обя­за­тель­но вы­пук­лы­ми гра­ня­ми и не име­ю­щий ни од­ной связ­ной рё­бер­ной раз­вёрт­ки лег­ко. Возь­мём в ка­че­стве ос­но­ва­ния невы­пук­лую звез­ду и по­стро­им на ней пи­ра­ми­ду. Вы­би­рая уг­лы звез­ды и вы­со­ту пи­ра­ми­ды, мож­но до­стичь то­го, что ес­ли хо­тя бы од­на бо­ко­вая грань не от­со­еди­не­на от ос­но­ва­ния, то при раз­вёр­ты­ва­нии она обя­за­тель­но пе­ре­се­чёт­ся со звез­дой. Зна­чит, ос­но­ва­ние долж­но быть от­де­ле­но от всех бо­ко­вых гра­ней и раз­вёрт­ка уже не бу­дет связ­ной.

При­ду­мать невы­пук­лый мно­го­гран­ник со все­ми вы­пук­лы­ми гра­ня­ми и не име­ю­щий ни од­ной связ­ной рё­бер­ной раз­вёрт­ки уже не так лег­ко. Пер­вый при­мер был по­стро­ен толь­ко в 1999 го­ду.

От­ло­жим от вер­шин тет­ра­эд­ра вдоль всех его рё­бер оди­на­ко­вое неболь­шое рас­сто­я­ние. За­фик­си­ру­ем ос­но­ва­ния по­лу­чив­ших­ся пи­ра­ми­док, об­ра­зо­ван­ные от­ло­жен­ны­ми точ­ка­ми, а вер­ши­ны нач­нём уда­лять от цен­тра тет­ра­эд­ра. Все гра­ни та­кой кон­струк­ции — вы­пук­лые мно­го­уголь­ни­ки. Ес­ли ос­но­ва­ния «ши­пов» до­ста­точ­но ма­лень­кие, а са­ми они — вы­со­кие, то по­лу­чив­ший­ся невы­пук­лый мно­го­гран­ник не име­ет ни од­ной связ­ной рё­бер­ной раз­вёрт­ки. Мож­но по­ка­зать, что ес­ли бы «ши­по­ван­ный» мно­го­гран­ник об­ла­дал связ­ной рё­бер­ной раз­вёрт­кой, то то­гда хо­тя бы один «шип» дол­жен иметь та­кую же раз­вёрт­ку, од­на­ко это не так. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим «шип» и при­ле­га­ю­щие к нему кус­ки гра­ней из­на­чаль­но­го мно­го­гран­ни­ка. Все­воз­мож­ные рё­бер­ные раз­вёрт­ки этой ча­сти мно­го­гран­ни­ка, со­сто­я­щие из од­но­го кус­ка, бу­дут са­мо­пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся.

Рас­смот­рев «невы­пук­лый контр­при­мер» к ги­по­те­зе Дю­ре­ра, вер­нём­ся к её из­на­чаль­ным усло­ви­ям — в класс вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков.

Са­мый про­стой вы­пук­лый мно­го­гран­ник — тре­уголь­ная пи­ра­ми­да: у неё че­ты­ре вер­ши­ны и че­ты­ре гра­ни. И да­же в этом про­стей­шем ти­пе есть пред­ста­ви­те­ли, у ко­то­рых не все рё­бер­ные раз­вёрт­ки уме­ща­ют­ся в плос­ко­сти без са­мо­пе­ре­се­че­ний. Од­на­ко все та­кие мно­го­гран­ни­ки име­ют и связ­ные рё­бер­ные раз­вёрт­ки. До сих пор не по­стро­е­но ни од­но­го вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка, име­ю­ще­го толь­ко са­мо­пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся рё­бер­ные раз­вёрт­ки, со­сто­я­щие из од­но­го кус­ка.

Недав­но Н.П. Дол­би­ли­ным бы­ла сфор­му­ли­ро­ва­на за­да­ча — об­су­дить «ан­ти-Дю­рер»-ги­по­те­зу. Она за­клю­ча­ет­ся в том, что для про­из­воль­но­го чис­ла k су­ще­ству­ет вы­пук­лый мно­го­гран­ник, та­кой, что для рас­по­ло­же­ния без са­мо­пе­ре­се­че­ний в плос­ко­сти его рё­бер­ной раз­вёрт­ки необ­хо­ди­мо раз­ре­зать её не ме­нее чем на k ча­стей.

От­ме­тим, что ес­ли ги­по­те­за Дю­ре­ра невер­на, то воз­мож­ны два прин­ци­пи­аль­но раз­ных слу­чая.

Огра­ни­чен­ный слу­чай: у лю­бо­го вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка су­ще­ству­ет са­мо­не­пе­ре­се­ка­ю­ща­я­ся рё­бер­ная раз­вёрт­ка, со­сто­я­щая из не бо­лее чем K ча­стей. При этом огра­ни­чи­ва­ю­щее чис­ло K мо­жет быть вы­бра­но од­ним и тем же для все­го клас­са вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков, т.е. не за­ви­сит от кон­крет­но взя­то­го при­ме­ра.

Бо­лее ин­те­ре­сен неогра­ни­чен­ный слу­чай: на клас­се всех мно­го­гран­ни­ков чис­ло необ­хо­ди­мых ли­стов не огра­ни­че­но свер­ху.

«Ан­ти-Дю­рер»-ги­по­те­за как раз со­сто­ит в том, что ре­а­ли­зу­ет­ся неогра­ни­чен­ный слу­чай.

Недав­но её ана­лог для невы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков (в неогра­ни­чен­ном слу­чае) был до­ка­зан рос­сий­ски­ми ма­те­ма­ти­ка­ми.

Вы мо­же­те по­про­бо­вать по­стро­ить вы­пук­лый мно­го­гран­ник, у ко­то­ро­го все связ­ные рё­бер­ные раз­вёрт­ки бу­дут са­мо­пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся, или до­ка­зать, что та­ко­го мно­го­гран­ни­ка не су­ще­ству­ет. И, ес­ли вы до­бьё­тесь успе­ха, в гео­мет­рию бу­дет впи­са­на но­вая кра­си­вая стра­ни­ца.

Ли­те­ра­ту­ра

А. С. Та­ра­сов. Мно­го­гран­ни­ки, не до­пус­ка­ю­щие на­ту­раль­ных раз­вёр­ток // Успе­хи ма­те­ма­ти­че­ских на­ук. 1999. Т. 54. Вып. 3. С. 185—186.

N. P. Dolbilin. Anti-Durer Conjecture // Rigidy and Stability Workshop, Open problems session. Viena, Shrödinger Institute 2006.

А. А. Гла­зы­рин, А. С. Та­ра­сов. Ана­лог Ан­ти-Дю­рер ги­по­те­зы для невы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков // Тру­ды меж­ду­на­род­но­го се­ми­на­ра по дис­крет­ной ма­те­ма­ти­ке. 2007.

Обсуждение (сообщений: 5)

Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»3

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке