Убы­ва­ние гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии

До­воль­но ча­сто, ко­гда хо­тят под­черк­нуть, что неко­то­рая ве­ли­чи­на быст­ро из­ме­ня­ет­ся (рас­тёт или убы­ва­ет), го­во­рят, что она из­ме­ня­ет­ся в гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Са­мый зна­ме­ни­тый при­мер, ил­лю­стри­ру­ю­щий ско­рость ро­ста гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, из­ве­стен из ле­ген­ды о про­ис­хож­де­нии шах­мат. Ока­зы­ва­ет­ся, что ес­ли по­ло­жить на од­ну клет­ку шах­мат­ной дос­ки од­но зер­но пше­ни­цы, на вто­рую — два, на тре­тью — 4 и т.д., то для за­пол­не­ния 64-й клет­ки по­на­до­бит­ся уро­жай всей Зем­ли бо­лее, чем за ты­ся­чу лет.

Ско­рость ро­ста гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии мож­но так­же по­чув­ство­вать, скла­ды­вая ли­сток бу­ма­ги. По­сле пер­во­го скла­ды­ва­ния тол­щи­на бу­ма­ги уве­ли­чит­ся в 2 ра­за, по­сле вто­ро­го — в 4, а ес­ли удаст­ся сло­жить ли­сток 42 ра­за, то тол­щи­на бу­ма­ги бу­дет боль­ше мак­си­маль­но­го рас­сто­я­ния от Зем­ли до Лу­ны.

Не ме­нее впе­чат­ля­ю­щим яв­ля­ет­ся при­мер, де­мон­стри­ру­ю­щий ско­рость убы­ва­ния гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

За­це­пим друг за дру­га несколь­ко ше­сте­рё­нок так, чтобы каж­дая сле­ду­ю­щая вра­ща­лась в 10 раз мед­лен­нее преды­ду­щей. Т.е. ес­ли пер­вая ше­сте­рён­ка со­вер­ши­ла 10 обо­ро­тов, вто­рая — один обо­рот, сле­ду­ю­щая — 1/10 обо­ро­та и так да­лее. Та­ким об­ра­зом, уг­ло­вые ско­ро­сти ше­сте­рё­нок об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию со зна­ме­на­те­лем 1/10.

В филь­ме пер­вая ше­сте­рён­ка вра­ща­ет­ся со ско­ро­стью при­мер­но 3 обо­ро­та в се­кун­ду. Ока­зы­ва­ет­ся, неболь­шо­го чис­ла ша­гов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии до­ста­точ­но, чтобы по­след­няя ше­сте­рён­ка во­об­ще не по­вер­ну­лась за «ра­зум­ное вре­мя» и её дей­стви­тель­но мож­но вмон­ти­ро­вать в сте­ну.

По­смот­рим, сколь­ко обо­ро­тов сде­ла­ют ше­сте­рён­ки через про­дол­жи­тель­ный от­ре­зок вре­ме­ни. На­при­мер, как бу­дет вы­гля­деть кар­ти­на 10 лет спу­стя

Через 10 лет непре­рыв­но­го вра­ще­ния дре­ли, пер­вая ше­сте­рён­ка со­вер­шит бо­лее 877 мил­ли­о­нов обо­ро­тов, а по­след­няя, 13 ше­сте­рён­ка, всё ещё не по­вер­нёт­ся да­же на од­ну ты­сяч­ную обо­ро­та.

А что бу­дет, ес­ли при­ла­дить дрель к ка­кой-ни­будь про­ме­жу­точ­ной ше­сте­рён­ке? Ин­ту­и­тив­ный от­вет, что ше­сте­рён­ки, на­хо­дя­щи­е­ся пра­вее ве­ду­щей, бу­дут вра­щать­ся очень быст­ро, — неве­рен. Де­ло в том, что си­ла тре­ния, воз­ни­ка­ю­щая с пра­вой сто­ро­ны от ве­ду­щей ше­сте­рён­ки, так­же рас­тёт в гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Вра­щать та­кую си­сте­му, при­кла­ды­вая уси­лия не к са­мой пра­вой ше­сте­рён­ке, — не по­лу­чит­ся.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке