Вин­то­вая ли­ния

Лёг­кость, с ко­то­рой гай­ка на­кру­чи­ва­ет­ся на болт, под­ска­зы­ва­ет, что резь­ба оди­на­ко­ва по всей длине бол­та, а ма­те­ма­ти­че­ская суть резь­бо­вых со­еди­не­ний — ис­поль­зо­ва­ние кри­вой, ко­то­рая мо­жет сколь­зить са­ма по се­бе. Эта за­ме­ча­тель­ная кри­вая на­зы­ва­ет­ся вин­то­вой ли­ни­ей.

Вин­то­вую ли­нию мож­но по­лу­чить, на­мо­тав на ци­линдр пря­мо­уголь­ный про­зрач­ный лист с от­ме­чен­ной диа­го­на­лью. В за­ви­си­мо­сти от дли­ны ли­ста и, со­от­вет­ствен­но, уг­ла на­кло­на на­ри­со­ван­ной ли­нии, бу­дет раз­ли­чать­ся шаг вин­то­вой ли­нии и ко­ли­че­ство вит­ков.

Фор­маль­но вин­то­вой ли­ни­ей (ци­лин­дри­че­ской) на­зы­ва­ет­ся ли­ния, опи­сы­ва­е­мая точ­кой, ко­то­рая вра­ща­ет­ся с по­сто­ян­ной уг­ло­вой ско­ро­стью во­круг непо­движ­ной оси и од­новре­мен­но пе­ре­ме­ща­ет­ся вдоль этой оси с по­сто­ян­ной ско­ро­стью.

На­гляд­ное пред­став­ле­ние и опре­де­ле­ние со­еди­ня­ют­ся в па­ра­мет­ри­че­ском за­да­нии вин­то­вой ли­нии в пря­мо­уголь­ной де­кар­то­вой си­сте­ме ко­ор­ди­нат: $$ x=a \cos t,\quad y=a \sin t,\quad z=ht. $$ Пер­вые два урав­не­ния по­ка­зы­ва­ют, что про­ек­ция точ­ки бе­жит по ос­но­ва­нию пря­мо­го кру­го­во­го ци­лин­дра ра­ди­у­са $a$. Тре­тье урав­не­ние за­да­ёт дви­же­ние вдоль оси ци­лин­дра с по­сто­ян­ной ско­ро­стью.

У «хо­ро­ших» кри­вых в трёх­мер­ном про­стран­стве есть две ба­зо­вые ха­рак­те­ри­сти­ки — кри­виз­на и кру­че­ние.

Кри­виз­на — ха­рак­те­ри­зу­ет ско­рость ис­крив­ле­ния ли­нии в плос­ко­сти и опре­де­ля­ет­ся ра­ди­у­сом окруж­но­сти, ду­га ко­то­рой наи­луч­шим об­ра­зом при­бли­жа­ет неболь­шой от­ре­зок кри­вой, со­дер­жа­щий дан­ную точ­ку). Кру­че­ние — ско­рость, с ко­то­рой кри­вая стре­мит­ся не быть плос­кой, на­сколь­ко кри­вая хо­чет по­ки­нуть плос­кость.

За­ме­ча­тель­но, что для до­ста­точ­но глад­ких кри­вых кри­виз­на и кру­че­ние пол­но­стью опре­де­ля­ют фор­му ли­нии.

У вин­то­вой ли­нии кри­виз­на и кру­че­ние по­сто­ян­ны, а из при­ве­дён­но­го утвер­жде­ния сле­ду­ет, что по­доб­ным свой­ством об­ла­да­ют толь­ко та­кие ли­нии!

По­сто­ян­ство кри­виз­ны и кру­че­ния во всех точ­ках озна­ча­ет, что устрой­ство вин­то­вой ли­нии всю­ду од­но и то же. Как след­ствие, по­лу­ча­ем, что от­ре­зок вин­то­вой ли­нии мо­жет сколь­зить вдоль неё точ­но так же, как от­ре­зок — по пря­мой, ду­га окруж­но­сти — по сво­ей окруж­но­сти. (Пря­мую и окруж­ность мож­но рас­смат­ри­вать как вы­рож­ден­ные, пре­дель­ные слу­чаи вин­то­вой ли­нии.)

Резь­бо­вые со­еди­не­ния, в част­но­сти резь­ба бол­та или вин­та ос­но­ва­ны на вин­то­вой ли­нии. При за­кру­чи­ва­нии резь­ба сколь­зит как буд­то по лыжне.

Вин­то­вая ли­ния — един­ствен­ная кри­вая, ко­то­рая мо­жет сколь­зить са­ма по се­бе. И при ре­ше­нии ин­же­нер­ных за­дач, в ко­то­рых на­ли­чие та­ко­го свой­ства же­ла­тель­но или да­же необ­хо­ди­мо, без вин­то­вых ли­ний не обой­тись.

Вин­то­вой ли­ни­ей яв­ля­ет­ся и гра­ни­ца вин­то­вых лест­ниц. Под­ни­ма­ясь по ним, вы по са­мо­му опре­де­ле­нию под­ни­ма­е­тесь вверх с по­сто­ян­ной ско­ро­стью. Фор­му вин­то­вой ли­нии име­ют и што­пор, и ры­бац­кий бур, сколь­зя­щие в ма­те­ри­а­ле по уже прой­ден­но­му пу­ти.