Глу­би­на за­ло­же­ния

совместно с Сергеем Петровичем Коноваловым

Как оце­нить глу­би­ну за­ло­же­ния стан­ции мет­ро, на ко­то­рую вы спус­ка­е­тесь по эс­ка­ла­то­ру? Ока­зы­ва­ет­ся и в этом жи­тей­ском во­про­се мо­жет по­мочь зна­ние ма­те­ма­ти­ки! А имен­но — три­го­но­мет­рии.

Эс­ка­ла­тор мет­ро… Как мно­го в этих сло­вах скры­то для лю­бо­го ин­те­ре­су­ю­ще­го­ся че­ло­ве­ка! Огром­ная, по­сто­ян­но дви­жу­ща­я­ся ма­хи­на, «жи­вая лест­ни­ца»…

А на­чи­на­лось всё ещё в кон­це XIX ве­ка, ко­гда аме­ри­кан­ский изоб­ре­та­тель Дж. Ре­но (Jesse W. Reno, 1861—1947) за­па­тен­то­вал первую «жи­вую лест­ни­цу». В его кон­струк­ции вме­сто сту­пе­нек на «бес­ко­неч­ной» лен­те её лест­нич­но­го по­лот­на бы­ли про­доль­ные рифли. Пер­вый же пуб­лич­ный дей­ству­ю­щий эс­ка­ла­тор по со­гла­ше­нию с его изоб­ре­та­те­лем Ч. Зее­бер­ге­ром (Charles D. Seeberger, 1857—1931) был из­го­тов­лен ком­па­ни­ей «Отис» и экс­по­ни­ро­ван на Па­риж­ской вы­став­ке 1900 го­да. У него бы­ли го­ри­зон­таль­ные сту­пе­ни, ко­то­рые вы­хо­ди­ли из-под ограж­де­ния на од­ной вход­ной пло­щад­ке и ухо­ди­ли под та­кое же ограж­де­ние на дру­гой вход­ной пло­щад­ке, что до­став­ля­ло мас­су про­блем. В 1921 го­ду обе идеи — го­ри­зон­таль­ные сту­пень­ки и риф­ле­ние — бы­ли объ­еди­не­ны в но­вой кон­струк­ции, и с это­го мо­мен­та все­гда ста­ла ис­поль­зо­вать­ся по­доб­ная схе­ма.

Ко­гда в 1930-х го­дах на­ча­ли про­ек­ти­ро­вать пер­вый в на­шей стране мос­ков­ский мет­ро­по­ли­тен, бы­ла пред­при­ня­та по­пыт­ка озна­ко­мить­ся с за­гра­нич­ным опы­том. Од­на­ко за­пра­ши­ва­е­мые сум­мы и вре­мя на ис­пол­не­ние со сто­ро­ны за­ру­беж­ных ком­па­ний бы­ли на­столь­ко ве­ли­ки, что от этой идеи при­шлось от­ка­зать­ся. В кон­це 1933 го­да ди­рек­тор лон­дон­ско­го от­де­ле­ния фир­мы «Отис» пи­сал пред­се­да­те­лю Мос­со­ве­та: «Ва­ши спе­ци­а­ли­сты — спо­соб­ный на­род. Но эс­ка­ла­то­ры — чрез­вы­чай­но слож­ное де­ло, им с этим де­лом не спра­вить­ся. Да­же мы, с на­шим трид­ца­ти­лет­ним опы­том, не возь­мём­ся вы­пол­нить за­каз в та­кие сро­ки. Я, как друг Со­вет­ско­го Со­ю­за, обя­зан вас пре­ду­пре­дить, что сро­ки пус­ка мет­ро мо­гут быть со­рва­ны». Но со­вет­ские ин­же­не­ры и учё­ные су­ме­ли ре­шить эту уни­каль­ную за­да­чу, и в фев­ра­ле 1935 го­да эс­ка­ла­то­ры ста­ли до­став­лять пас­са­жи­ров на стан­ции мос­ков­ско­го мет­ро­по­ли­те­на.

Од­ним из важ­ных эле­мен­тов эс­ка­ла­то­ра яв­ля­ет­ся сту­пень­ка. У неё че­ты­ре ро­ли­ка: два боль­ших и два ма­лень­ких. Боль­шие ро­ли­ки едут по сво­им на­прав­ля­ю­щим рель­сам, а ма­лень­кие — по сво­им.

Ко­гда про­ек­ти­ро­ва­ли эс­ка­ла­тор, да­же под­бор ма­те­ри­а­лов для ро­ли­ков был очень важ­ной и труд­ной за­да­чей. Мос­ков­ский мет­ро­по­ли­тен от­крыт при­мер­но с ше­сти утра до ча­су но­чи. Т. е. боль­ше 19 ча­сов — боль­ше 68 ты­сяч се­кунд в день. Са­мая мед­лен­ная ско­рость экс­плу­а­та­ции эс­ка­ла­то­ра сей­час 0,75 м/c, и, зна­чит, сту­пень­ка про­бе­га­ет каж­дый день боль­ше 50 ки­ло­мет­ров. И так, без уста­ли, день за днём, в год бо­лее 18 ты­сяч ки­ло­мет­ров! Пред­став­ля­е­те, ка­ков дол­жен быть ма­те­ри­ал, чтобы ро­ли­ки без ре­гу­ляр­ных ре­мон­тов и за­мен мог­ли вы­дер­жи­вать по­сто­ян­но еду­щих на сту­пень­ках пас­са­жи­ров. И это толь­ко од­на де­таль и один во­прос, ко­то­рый при­шлось ре­шать со­вет­ским ин­же­не­рам, а та­ких во­про­сов бы­ли ты­ся­чи.

Вот так при­мер­но вы­гля­дит схе­ма эс­ка­ла­то­ра. Ес­ли по­смот­реть сбо­ку, то вид­но, что имен­но вза­им­ное рас­по­ло­же­ние на­прав­ля­ю­щих рельс боль­ших и ма­лень­ких ро­ли­ков обес­пе­чи­ва­ет ос­нов­ное свой­ство эс­ка­ла­то­ра: в верх­ней ча­сти «жи­вой лест­ни­цы», по ко­то­рой едут пас­са­жи­ры, сту­пе­ни все­гда го­ри­зон­таль­ны. В ниж­ней же ча­сти сту­пе­ни воз­вра­ща­ют­ся вверх па­рал­лель­но на­прав­ля­ю­щим, не за­ни­мая ме­сто в тун­не­ле.

Но вер­нём­ся к на­ше­му во­про­су о глу­бине, на ко­то­рую спус­ка­ет­ся эс­ка­ла­тор. Уди­ви­тель­ный факт со­сто­ит в том, что все рос­сий­ские эс­ка­ла­то­ры, с са­мых пер­вых и до про­из­во­ди­мых в на­ше вре­мя, на­кло­не­ны к го­ри­зон­ту под уг­лом в 30 гра­ду­сов!

До­стро­им мыс­лен­но эс­ка­ла­тор до есте­ствен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Дли­на его ги­по­те­ну­зы — это дли­на эс­ка­ла­то­ра, а дли­на од­но­го из ка­те­тов и бу­дет при­мер­но рав­на глу­бине за­ло­же­ния той стан­ции мет­ро, на ко­то­рую ве­дёт этот эс­ка­ла­тор.

Как же по­счи­тать дли­ну эс­ка­ла­то­ра, спус­ка­ясь по нему? Мож­но бы­ло бы за­сечь вре­мя, но то­гда для вы­чис­ле­ния пу­ти нуж­но точ­но знать ско­рость дви­же­ния, а она мо­жет ме­нять­ся от 0,75 м/c до 1 м/c, и по­греш­ность — в чет­верть — до­воль­но боль­шая.

Мож­но бы­ло бы по­счи­тать раз­ме­ры од­ной сту­пень­ки, но за­тем по­нять на дви­жу­щем­ся эс­ка­ла­то­ре, сколь­ко на ги­по­те­ну­зе уме­ща­ет­ся сту­пе­нек, слож­но­ва­то…

Что же мы мо­жем ис­поль­зо­вать ещё? Спус­ка­ясь или под­ни­ма­ясь по эс­ка­ла­то­ру, мы по­сто­ян­но про­ез­жа­ем фо­на­ри! Рас­сто­я­ние меж­ду ни­ми не фик­си­ру­ет­ся, ГОСТами ого­ва­ри­ва­ет­ся необ­хо­ди­мая осве­щён­ность тун­не­ля. И в ито­ге по­лу­ча­ет­ся, что фо­на­ри от­сто­ят друг от дру­га при­мер­но на 5 мет­ров.

Спус­ка­ясь по эс­ка­ла­то­ру, мож­но по­счи­тать ко­ли­че­ство фо­на­рей. Что нуж­но сде­лать даль­ше, чтобы по­счи­тать дли­ну ги­по­те­ну­зы?

Не то­ро­пи­тесь умно­жать на 5. Для под­счё­та дли­ны нам же нуж­но не ко­ли­че­ство фо­на­рей, а ко­ли­че­ство рас­сто­я­ний меж­ду ни­ми! От под­счи­тан­но­го ко­ли­че­ства фо­на­рей сле­ду­ет от­нять 1, а те­перь уже мож­но умно­жить на 5 и на си­нус 30°.

Кра­со­та мо­мен­та со­сто­ит в том, что си­нус 30° ра­вен 1/2, и с этим чис­лом лег­ко про­из­во­дить счёт в уме! И по­лу­чив­ша­я­ся фор­му­ла под­счё­та глу­би­ны за­ло­же­ния стан­ции про­ста для счё­та и лег­ка для за­по­ми­на­ния.

Ли­те­ра­ту­ра

Л. А. Ост­ров­ский. Жи­вая лест­ни­ца // Как мы стро­и­ли мет­ро. М., 1935.

Лест­ни­ца-чу­дес­ни­ца // Мос­ков­ско­му мет­ро­по­ли­те­ну — 50. М., 1985.

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке