Па­ра­док­саль­ный ме­ха­низм П. Л. Че­бы­ше­ва

Ка­кое пре­об­ра­зо­ва­ние кри­вых мо­жет вы­пол­нять пред­став­лен­ное со­чле­не­ние с од­ним непо­движ­ным крас­ным шар­ни­ром?

Пусть се­рый шар­нир сколь­зит по кри­вой, сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но пря­мой, про­хо­дя­щей через за­креп­лён­ный крас­ный шар­нир. Мож­но по­ка­зать, что в та­ком слу­чае тра­ек­то­рия си­не­го шар­ни­ра бу­дет так­же сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но неко­то­рой пря­мой, про­хо­дя­щей через непо­движ­ный шар­нир. Рос­сий­ский ма­те­ма­тик Па­ф­ну­тий Льво­вич Че­бы­шев ис­сле­до­вал во­прос, ка­ко­ва же мо­жет быть эта тра­ек­то­рия.

Важ­ным част­ным слу­ча­ем се­рой тра­ек­то­рии яв­ля­ет­ся окруж­ность. На прак­ти­ке он ре­а­ли­зу­ет­ся до­бав­ле­ни­ем од­но­го непо­движ­но­го (крас­но­го) шар­ни­ра и ве­ду­ще­го зве­на неко­то­рой дли­ны.

Для си­ней же тра­ек­то­рии дву­мя важ­ны­ми слу­ча­я­ми яв­ля­ет­ся схо­жесть её ли­бо с от­рез­ком пря­мой, ли­бо с окруж­но­стью или её ду­гой. Че­бы­шев пи­шет: «Здесь мы зай­мём­ся рас­смот­ре­ни­ем слу­ча­ев, наи­бо­лее про­стых и на­и­ча­ще пред­став­ля­ю­щих­ся на прак­ти­ке, а имен­но ко­гда име­ет­ся в ви­ду по­лу­чить дви­же­ние по кри­вой, ко­то­рой неко­то­рая часть, бо­лее или ме­нее зна­чи­тель­ная, ма­ло раз­нит­ся от ду­ги кру­га или от пря­мой ли­нии».

Имен­но к вы­яв­ле­нию наи­луч­ших па­ра­мет­ров это­го ме­ха­низ­ма, ре­ша­ю­ще­го пе­ре­чис­лен­ные за­да­чи, Па­ф­ну­тий Льво­вич впер­вые сам при­ме­ня­ет тео­рию при­бли­же­ния функ­ций, раз­ра­бо­тан­ную им неза­дол­го до это­го при изу­че­нии па­рал­ле­ло­грам­ма Уат­та.

Под­би­рая рас­сто­я­ние меж­ду за­креп­лён­ны­ми шар­ни­ра­ми, дли­ну ве­ду­ще­го зве­на, а так­же угол меж­ду зве­нья­ми, Па­ф­ну­тий Льво­вич по­лу­ча­ет за­мкну­тую тра­ек­то­рию, ма­ло укло­ня­ю­щу­ю­ся от пря­мо­ли­ней­но­го от­рез­ка. Укло­не­ние си­ней тра­ек­то­рии от пря­мо­ли­ней­ной мож­но умень­шать, из­ме­не­няя па­ра­мет­ры ме­ха­низ­ма. Од­на­ко при этом бу­дет умень­шать­ся и дли­на хо­да си­не­го шар­ни­ра. Но это про­ис­хо­дит мед­лен­нее, чем умень­ше­ние от­кло­не­ния от пря­мой, по­это­му для прак­ти­че­ских за­дач мож­но по­до­брать удо­вле­тво­ри­тель­ные па­ра­мет­ры. Это один из ва­ри­ан­тов при­бли­жён­но­го пря­ми­ла, пред­ло­жен­но­го Че­бы­ше­вым.

Пе­рей­дём к слу­чаю схо­же­сти си­ней кри­вой с окруж­но­стью.

Рас­смат­ри­вая слу­чай, ко­гда зве­нья со­став­ля­ют пря­мую, при­хо­дим к ме­ха­низ­му, по­хо­же­му на гре­че­скую бук­ву «лямб­да». С неко­то­ры­ми па­ра­мет­ра­ми Че­бы­шев ис­поль­зо­вал его для по­стро­е­ния пер­вой в ми­ре «сто­по­хо­дя­щей ма­ши­ны». При этом си­няя кри­вая бы­ла по­хо­жа на шляп­ку бе­ло­го гри­ба. Под­би­рая па­ра­мет­ры лямб­да-ме­ха­низ­ма по-дру­го­му, мож­но по­лу­чить тра­ек­то­рию, по­оче­рёд­но ка­са­ю­щу­ю­ся двух кон­цен­три­че­ских окруж­но­стей и оста­ю­щу­ю­ся всё вре­мя меж­ду ни­ми. Из­ме­няя па­ра­мет­ры ме­ха­низ­ма, мож­но умень­шать рас­сто­я­ние меж­ду кон­цен­три­че­ски­ми окруж­но­стя­ми, внут­ри ко­то­рых рас­по­ло­же­на си­няя тра­ек­то­рия.

До­стро­им лямб­да-ме­ха­низм, до­ба­вив непо­движ­ный шар­нир и два зве­на, сум­ма длин ко­то­рых рав­на ра­ди­у­су боль­шей окруж­но­сти, а раз­ность — ра­ди­у­су мень­шей.

По­лу­чив­ше­е­ся устрой­ство име­ет точ­ки би­фур­ка­ции или, как ещё го­во­рят, син­гу­ляр­ные или осо­бые точ­ки. На­хо­дясь в та­кой точ­ке, при од­ном и том же дви­же­нии лямб­да-ме­ха­низ­ма по ча­со­вой стрел­ке до­бав­лен­ные зве­нья мо­гут на­чать вра­щать­ся ли­бо по ча­со­вой стрел­ке, ли­бо про­тив. Та­ких то­чек би­фур­ка­ции в на­шем ме­ха­низ­ме шесть — ко­гда до­бав­лен­ные зве­нья на­хо­дят­ся на од­ной пря­мой.

Су­ще­ству­ет боль­шое и важ­ное на­прав­ле­ние в ма­те­ма­ти­ке — тео­рия осо­бен­но­стей — ис­сле­до­ва­ние пред­ме­та через изу­че­ние его осо­бых то­чек. Очень про­стым част­ным слу­ча­ем яв­ля­ет­ся изу­че­ние по­ве­де­ния функ­ции через ис­сле­до­ва­ние то­чек её мак­си­му­ма и ми­ни­му­ма.

Чтобы наш ме­ха­низм про­хо­дил все шесть осо­бых то­чек в од­ном на­пе­рёд вы­бран­ном на­прав­ле­нии, ма­лень­кое зве­но свя­зы­ва­ют с ма­хо­ви­ком, ко­то­рое, бу­дучи рас­кру­чен­ным в ка­кую-то сто­ро­ну, вы­во­дит ме­ха­низм из осо­бой точ­ки, вра­ща­ю­щим­ся в ту же сто­ро­ну.

Ес­ли из точ­ки би­фур­ка­ции рас­кру­тить ма­хо­вик так же как и ве­ду­щее зве­но, по ча­со­вой стрел­ке, то за один обо­рот ве­ду­ще­го зве­на ма­хо­вик сде­ла­ет два обо­ро­та.

Ес­ли же из осо­бой точ­ки при­дать ма­хо­ви­ку дви­же­ние про­тив ча­со­вой стрел­ки, то за один обо­рот ве­ду­ще­го зве­на по ча­со­вой стрел­ке ма­хо­вик сде­ла­ет це­лых че­ты­ре обо­ро­та!

В этом и за­клю­ча­ет­ся па­ра­док­саль­ность это­го ме­ха­низ­ма, при­ду­ман­но­го и сде­лан­но­го Па­ф­ну­ти­ем Льво­ви­чем Че­бы­ше­вым. Ка­за­лось бы, плос­кий шар­нир­ный ме­ха­низм дол­жен ра­бо­тать од­но­знач­но, од­на­ко, как ви­дим, это не все­гда так. И при­чи­ной яв­ля­ют­ся осо­бые точ­ки.

Обсуждение (сообщений: 3)

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»6

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке