Ку­соч­но глад­кое вло­же­ние мно­го­гран­ни­ка

Видео

00:00|00:00

Картинки

Мож­но ли раз­вёрт­ку мно­го­гран­ни­ка свер­нуть в за­мкну­тое те­ло, гра­ни­цы ко­то­ро­го бу­дут со­сто­ять не из ку­соч­ков плос­ко­стей, а из ку­соч­ков глад­ких по­верх­но­стей?

Возь­мём куб с дли­ной рёб­ра, рав­ной $\pi$. Раз­вер­нем его в клас­си­че­скую кре­сто­об­раз­ную раз­вёрт­ку и, спе­ци­аль­ным об­ра­зом про­ве­дя оси ко­ор­ди­нат, на­ри­су­ем функ­цию $y=sin(x)$. Пе­ре­ло­жим ку­соч­ки раз­вёрт­ки, от­се­ка­е­мые си­ну­со­и­дой, и сим­мет­рич­ные им. Раз­вёрт­ка не из­ме­ни­лась, так как усло­вия склей­ки гра­ниц при пе­ре­кла­ды­ва­нии бы­ли со­хра­не­ны. Из по­лу­чен­ной фигу­ры мож­но сло­жить вот та­кое те­ло.

Од­на­ко рас­смот­рен­ный при­мер, хо­тя и от­ве­ча­ет на по­став­лен­ный во­прос, об­ла­да­ет од­ним недо­стат­ком. Его гра­ни­ца со­дер­жит два кус­ка, уна­сле­до­ван­ных от ку­ба, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ку­соч­ка­ми плос­ко­стей. По­сле по­стро­е­ния это­го при­ме­ра кон­струк­ция, не об­ла­да­ю­щая ука­зан­ным ми­ну­сом, воз­ник­ла очень быст­ро.

Возь­мём пря­мо­уголь­ный лист бу­ма­ги с от­но­ше­ни­ем сто­рон, рав­ным $\pi/2$. Из него, как из лю­бо­го пря­мо­уголь­но­го ли­ста, мож­но свер­нуть тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Для это­го со­еди­ним реб­ра­ми се­ре­ди­ны со­сед­них сто­рон, а так­же про­ве­дём реб­ро, со­еди­ня­ю­щее се­ре­ди­ны длин­ных сто­рон. Скла­ды­вая по этим рёб­рам, по­лу­чим тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду.

Из это­го же ли­ста бу­ма­ги мож­но по­лу­чить и дру­гую фигу­ру, гра­ни­ца ко­то­рой бу­дет со­став­ле­на из глад­ких по­верх­но­стей. Со­еди­ним се­ре­ди­ны со­сед­них сто­рон «чет­вер­тин­ка­ми» си­ну­со­ид. Со­гнём лист по этим рёб­рам. По­лу­чим вот та­кое кра­си­вое те­ло. Оно яв­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ни­ем трёх ци­лин­дров: двух ка­са­ю­щих­ся и од­но­го на­прав­лен­но­го в пер­пен­ди­ку­ляр­ном на­прав­ле­нии. Та­ким об­ра­зом, гра­ни­ца фигу­ры со­сто­ит из трёх ку­соч­ков ци­лин­дров.

Уди­ви­тель­но, на­сколь­ко юна ма­те­ма­ти­ка. Ка­за­лось бы, та­кие при­ме­ры долж­ны бы­ли быть по­стро­е­ны ес­ли и не во вре­ме­на Ар­хи­ме­да, то всё рав­но очень дав­но. Од­на­ко при­ме­ры, ко­то­рые мы рас­смот­ре­ли, бы­ли по­стро­е­ны толь­ко осе­нью 2004 го­да.

Ли­те­ра­ту­ра

М. И. Што­грин. Ку­соч­но глад­кое вло­же­ние ку­ба // Успе­хи ма­те­ма­ти­че­ских на­ук. 2004. Т.59. № 5. С. 167—168.

М. И. Што­грин. Спе­ци­аль­ные изо­мет­ри­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния по­верх­но­стей пла­то­но­вых тел // Успе­хи ма­те­ма­ти­че­ских на­ук. 2005. Т.60. № 4. С. 221—222.

Обсуждение (сообщений: 2)

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»4

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке