Взве­ши­ва­ние ци­лин­дра и ша­ра

Изображения

Ко­гда я был кве­сто­ром, я отыс­кал в Си­ра­ку­зах его <Ар­хи­ме­да> мо­ги­лу, со всех сто­рон за­рос­шую тер­нов­ни­ком, слов­но из­го­ро­дью, по­то­му что си­ра­ку­зяне со­всем за­бы­ли о ней, слов­но ее и нет.

Я знал несколь­ко стиш­ков, со­чи­нен­ных для его над­гроб­но­го па­мят­ни­ка, где упо­ми­на­ет­ся, что на вер­шине его по­став­ле­ны шар и ци­линдр.

И вот, осмат­ри­вая мест­ность близ Ак­ра­гант­ских во­рот, где очень мно­го гроб­ниц и мо­гил, я при­ме­тил ма­лень­кую ко­лон­ну, чуть-чуть воз­вы­шав­шу­ю­ся из за­ро­с­лей, на ко­то­рой бы­ли очер­та­ния ша­ра и ци­лин­дра. Тот­час я ска­зал си­ра­ку­зя­нам — со мной бы­ли пер­вей­шие граж­дане го­ро­да, — что это­го-то, ви­ди­мо, я и ищу.

Ци­це­рон о мо­ги­ле Ар­хи­ме­да в со­чи­не­нии «Туску­лан­ские бе­се­ды». Пе­ре­вод М. Гас­па­ро­ва.

(Цит. по: Ци­це­рон Марк Тул­лий. Из­бран­ные со­чи­не­ния. Пер. с ла­тин. — М.: «Ху­дож. лит.», 1975. С. 342)

Шар и ци­линдр. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра ра­вен ра­ди­у­су ша­ра, а вы­со­та ци­лин­дра рав­на диа­мет­ру ша­ра. При та­ких раз­ме­рах в ци­линдр мож­но впи­сать шар.

Как от­но­сят­ся объ­ё­мы ци­лин­дра и ша­ра: как нуж­но рас­по­ло­жить те­ла на ры­чаж­ных ве­сах, чтобы они при­шли в рав­но­ве­сие?

Мож­но убе­дить­ся, что от­но­ше­ние плеч (пле­чо — это рас­сто­я­ние от точ­ки опо­ры ве­сов до точ­ки, где рас­по­ло­жен взве­ши­ва­е­мый пред­мет) при рав­но­ве­сии бу­дет рав­но $2:3$. Зна­чит объ­ём ша­ра ра­вен двум тре­тям от объ­ё­ма ци­лин­дра. Ин­те­рес­но, что в том же от­но­ше­нии на­хо­дят­ся и пло­ща­ди их по­верх­но­стей.

Счи­та­ет­ся, что Ар­хи­мед из сво­их от­кры­тий боль­ше все­го це­нил имен­но то, что на­шёл со­от­но­ше­ние меж­ду объ­ё­мом ша­ра и объ­ё­мом опи­сан­но­го во­круг него ци­лин­дра, тем са­мым вы­чис­лив объ­ём ша­ра.

Из это­го со­от­но­ше­ния мож­но вы­ве­сти фор­му­лу для объ­ё­ма ша­ра.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой для объ­ё­ма ци­лин­дра: про­из­ве­де­ние пло­ща­ди ос­но­ва­ния на дли­ну вы­со­ты. В на­шем слу­чае пло­щадь ос­но­ва­ния рав­на $\pi \cdot R^2$, а вы­со­та ци­лин­дра рав­на $2 \cdot R$, где $R$ — ра­ди­ус ша­ра. Зна­чит объ­ём ци­лин­дра ра­вен: $(\pi \cdot R^2) \cdot (2 \cdot R) = 2 \cdot \pi \cdot R^2$.

Умно­жая на ко­эф­фи­ци­ент $2/3$, по­лу­чим фор­му­лу для объ­ё­ма ша­ра: $4/3 \cdot π \cdot R^3$.

В мо­де­ли сто­ит преду­смот­реть воз­мож­ность де­ле­ния ци­лин­дра на две рав­ные по вы­со­те ча­сти. Ес­ли урав­но­ве­ши­вать на ры­чаж­ных ве­сах шар с ци­лин­дром, име­ю­щим вы­со­ту, рав­ную ра­ди­у­су ша­ра, то со­от­но­ше­ние плеч бу­дет рав­но как раз $4:3$.