Этюды

Раздел содержит этюды, среди которых занимательные научно-популярные рассказы о современных задачах математики и мультфильмы, по-новому раскрывающие известные сюжеты.

Замечательные кривые (4)

Циклоида (совм. с Е. Зёрнышкиной, Н. Панюниным) На пу­ти бай­ка по­пал­ся ка­му­шек, кото­рый заст­рял в про­тек­торе ко­ле­са. Про­вер­нувшись нес­коль­ко кру­гов с коле­сом, куда поле­тит ка­мень, ког­да выс­ко­чит из про­тек­то­ра? подробнее... Эллипс Точ­ка, точ­ка, запя­тая — выш­ла ро­жи­ца кри­вая. Поч­ти так же мож­но на­ри­со­вать кривую, на­зы­ваю­щую­ся в ма­те­ма­ти­ке «эл­липс». подробнее... Параболическая антенна Поче­му боль­шинс­тво сов­ремен­ных спут­нико­вых ан­тенн выг­лядят оди­нако­во? Ответ на этот воп­рос в неяв­ном ви­де Вы про­хо­дили в шко­ле: подробнее... Цепная линия А Вы умеете ездить на квад­ратных колесах? подробнее...

Кривые (фигуры) постоянной ширины (3)

Круглый треугольник Рело Рас­смот­рим пра­виль­ный тре­уголь­ник (с рав­ными сто­ро­нами). На каж­дой сто­ро­не пос­тро­им дугу ок­руж­нос­ти, ра­диусом рав­ным дли­не сто­ро­ны. Эта кри­вая и но­сит имя "тре­уголь­ник Рело подробнее... Свер­ле­ние квад­рат­ных от­вер­стий Мож­но выс­вер­ли­вать не толь­ко круг­лые, но и квад­рат­ные отвер­стия! Нуж­но толь­ко спе­ци­аль­ное свер­ло. Какое имен­но, Вы уз­на­ете пос­мот­рев этот мульт­фильм. подробнее... Изобретая колесо Может ли повозка ехать без тряски по ровной повер­хности на некруглых колесах? подробнее...

Интерактивные фильмы (4)

Интерактивная головоломка «Теорема Пифагора» Кр­асивое интер­активное дока­затель­ство тео­ремы Пифагора подробнее... Площадь трапеции Интер­актив­ное дока­затель­ство фор­мулы пло­щади тра­пеции подробнее... Формула Пика Интер­активное вы­чис­ление пло­щади нарисо­ванного Вами мно­го­уголь­ника подробнее... Хитрое изгибание Можно ли раз­резать пря­моуголь­ный лист бума­ги, а затем изог­нуть так, чтобы полу­чить пред­став­ленную фигуру, не поль­зуясь клеем? открыть

Внутренняя геометрия многогранников (4)

Развертка Что та­кое раз­верт­ка мно­го­гран­ни­ка? Вы ска­жете — ку­сок кар­тона, из кото­рого мож­но свер­нуть дан­ный мно­го­гран­ник. В этом есть прав­да, но это не вся прав­да. Ока­зы­ва­ет­ся, по­ня­тие раз­верт­ки вклю­чает в се­бя боль­ше, чем прос­то ку­сок кар­то­на. подробнее... И это развертка?! Ка­ко­го толь­ко вида не бы­ва­ют раз­верт­ки са­мых при­выч­ных для нас мно­го­гран­ни­ков... подробнее... Анти-Дюрер (совм. с Н.П. Долбилиным) Нерешенная задача: найти выпуклый многогранник, ни одна реберная развертка которого, состоящая из одного куска, не умещается в плоскость без самопересечений. подробнее... Кубистский паркет (совм. с С.П. Коноваловым) Сколь­кими спосо­бами мож­но разре­зать куб, сделан­ный из кар­тона, по реб­рам, чтобы обра­зовав­шиеся кус­ки кар­тона мож­но было рас­по­ло­жить в плос­кости? Любо­пыт­но, что пар­кет в Вашей ком­нате мож­но сде­лать из досо­чек в виде лю­бой из ребер­ных раз­вер­ток куба. подробнее...

Внешняя геометрия многогранников (4)

Уве­ли­че­ние объе­ма вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков Пом­ните как выг­ля­дел па­кет мо­ло­ка в совет­ское вре­мя? Уди­витель­но, что вся стра­на по­ку­па­ла эти па­ке­ты поч­ти каж­дый день на про­тя­же­нии бо­лее 20 лет, но ма­ло кто сей­час пом­нит точ­но, что на них бы­ло на­ри­со­ва­но... подробнее... Уди­ви­тель­ные объе­мы много­гран­ников Мож­но ли из одина­ко­вых гра­ней сло­жить вы­пук­лый и не­вы­пук­лый мно­го­гран­ники? Ко­неч­но мож­но, ска­же­те Вы. У ко­то­ро­го из них об­ъем бу­дет боль­ше? подробнее... Ку­соч­но глад­кое вло­же­ние мно­го­гран­ни­ка Мож­но ли раз­вер­тку мно­го­гран­ника свер­нуть в зам­кну­тое те­ло, не яв­ля­ющее­ся мно­го­гран­ни­ком? Уди­ви­тель­но нас­коль­ко юна ма­те­ма­ти­ка. При­ме­ры, ко­то­рые рас­сматри­вают­ся, яв­ляют­ся пер­выми пос­троен­ными и ро­ди­лись толь­ко осенью 2004 года. подробнее... Изгибаемые многогранники Если Вам при­ходи­лось соби­рать дома шкаф, то пре­красно помните, что пока не при­бита зад­няя стен­ка, он из­ги­бает­ся. Бывают ли зам­кнутые изги­баемые мно­го­гран­ники? подробнее...

Шарнирные механизмы (7)

Шарнирные механизмы Все виде­ли, как быс­тро сме­тают воду «двор­ники» с лобо­вого стекла машины. Но если пока­зать меха­нику такую сис­тему, он скажет, что она рабо­тать не может! подробнее... Стопоходящая машина П.Л. Чебышева Дума­ете, ша­га­ющие ма­шины — это дело дале­кого бу­ду­щего, вре­мен «Звезд­ных войн» Лукаса? Оши­ба­етесь! Пер­вую в ми­ре та­кую ма­шину изоб­рел во вто­рой поло­вине XIX века рос­сий­ский мате­матик П.Л. Чебышев, наз­вав её сто­по­хо­дящей. подробнее... Прямило Липкина Со вре­мен изоб­рете­ния Джей­мсом Уат­том паро­вой маши­ны сто­яла зада­ча пос­тро­ения шар­нир­ного меха­низма, пере­водя­щего движе­ние од­ного шар­нира по окруж­ности в дви­жение дру­гого шар­нира по пря­мой. Дли­тель­ное вре­мя ученые и инже­неры иска­ли реше­ние. По­мог­ла им кра­си­вая мате­матика… подробнее... Сдвиг и поворот Под­нимем листо­чек и отпус­тим, чтобы он слу­чай­ным обра­зом опус­тил­ся на стол, но при этом не пере­вер­нулся. Почти всег­да конеч­ное поло­жение и на­чаль­ное будут раз­личать­ся просто пово­ротом! подробнее... Трисекция угла Задача о деле­нии произ­воль­ного угла на три рав­ные части не может быть решена с помощью освя­щен­ных евкли­довой геомет­рией инстру­ментов — цир­куля и линей­ки. Однако, сущест­вует плос­кий шар­нир­ный меха­низм, кото­рый позво­ляет это сделать! подробнее... Парадоксальный механизм П.Л. Чебышева Каза­лось бы, плос­кий шар­нир­ный меха­низм дол­жен ра­бо­тать одноз­начно, одна­ко, как пока­зывает «парадок­саль­ный» меха­низм, изоб­ретен­ный П.Л. Чебышевым, это не всег­да так. И причи­ной явля­ются осо­бые точки… подробнее... Степени свободы Всег­да ли за кон­крет­ным механиз­мом «зак­реп­лено» опреде­ленное неиз­менное число степе­ней свободы? Или же бывают меха­низмы, у кото­рых перемен­ное число сте­пеней сво­боды? Ока­зывает­ся, бывают… подробнее...

Наилучшее расположение точек (3)

Кон­такт­ное чис­ло ша­ров и сфе­ри­чес­кие ко­ды Чи­тая этот текст или ска­чи­вая фильм, Вы, воз­мож­но, ис­поль­зо­ва­ли ре­ше­ние за­да­чи о кон­такт­ном чис­ле ша­ров в 8-мерном прос­тран­стве. Удив­ле­ны? В кон­це филь­ма рас­ска­зы­вает­ся, ка­кое при­ме­не­ние на­хо­дит эта из­вест­ная ма­те­ма­ти­чес­кая за­да­ча в тех­нике. подробнее... За­да­ча Том­со­на (совм. с. В.А. Юдиным) Помес­тим на сферу N одина­ковых зарядов. К каким распо­ложе­ниям будут стре­миться заряды, пытаясь миними­зиро­вать потен­циальную энер­гию сис­темы? Задача воз­никла на рубеже XIX и XX веков, одна­ко до сих пор реше­на только в ма­лом коли­чес­тве част­ных слу­чаев... подробнее... Хорошая конструкция Как распо­ложатся нес­колько зарядов на отрезке, пытаясь мини­мизи­ровать энергию системы? Оказы­вается, что в нулях мно­гочле­на Якоби, кото­рые были приду­маны задолго до возник­новения самой задачи о зарядах. подробнее...

Непрерывность (2)

Непрерывность Детское, каза­лось бы, наблю­дение, осно­ванное на поня­тии непр­ерыв­ности, явля­ется мощным сред­ством, исполь­зуемым при дока­затель­стве неко­торых мате­мати­ческих утверждений. подробнее... Задача о бутерброде Мож­но ли бутер­брод из хлеба, сыра и колба­сы разре­зать одной плос­кос­тью на две час­ти по­ров­ну? подробнее...

Другие интересные темы (16)

Од­ним раз­ре­зом На лис­те бу­ма­ги на­ри­со­ва­ли произ­воль­ный мно­го­уголь­ник. Мож­но ли так сло­жить лист бу­ма­ги, что­бы вы­ре­зать мно­го­уголь­ник од­ним пря­мо­ли­ней­ным раз­ре­зом? подробнее... Лест­ни­ца в бес­ко­неч­ность (совм. с С.П. Коноваловым) Две ма­шин­ки – трак­тор и пог­руз­чик – стро­ят лест­ни­цу, ухо­дя­щую по го­ри­зон­та­ли в бес­ко­неч­ность. Ув­ле­чен­ные пос­трой­кой, они до­ка­зы­ва­ют рас­хо­ди­мость гар­мо­ни­чес­ко­го ря­да. подробнее... Уголковый отражатель Что общего между вело­сипе­дом и луно­ходом? Почему вело­сипед­ный катафот виден в ночи только тому водителю, фары чьей машины его освещают, и не виден другим? подробнее... Тени (совм. с А. Канель-Беловым) Три орто­гональ­ные проек­ции тела — квад­раты. Обя­затель­но ли тело — куб? подробнее... Глубина заложения (совм. с С. П. Коноваловым) Эска­латор метро… Как много в этих сло­вах скрыто для любого инте­ресующе­гося чело­века. Как оце­нить глу­бину зало­жения стан­ции метро, на которую Вы спус­каетесь по эска­ла­тору? Ока­зы­вает­ся и в этом житей­ском воп­росе может по­мочь зна­ние мате­матики! подробнее... Объём шара Покупая апель­син с тол­стой кожу­рой, по объёму Вы при­обре­та­ете в основ­ном кожуру… подробнее... Геометрия поворота Парал­лельны ли друг другу перед­ние коле­са авто­мобиля при пово­роте? подробнее... Колесная пара Оди­нако­вый ли путь про­ходят одина­ковые колёса, враща­ющиеся с одина­ковой угло­вой ско­ростью? Оказы­вается — не всегда! Напри­мер, это не так для колёс­ной пары ваго­на метро при прохож­дении пово­ротов. подробнее... Мятый рубль Можно ли сло­жить прямо­уголь­ный лист бума­ги (рубль) в плос­кий много­угол­ьник так, чтобы пери­метр конеч­ного много­уголь­ника был боль­ше пери­метра исход­ного прямо­уголь­ника? подробнее... Площади фигур Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Легко посчитать площадь фигуры, разбивающейся на несколько квадратов. А чему равна площадь фигуры, ограниченной произвольной кривой? подробнее... Экранировать луч Можно ли зак­рыть лучи, рас­прос­тра­ня­ющие­ся в плос­кости, круг­лыми зер­каль­ными колон­нами? подробнее... Аксиомы: Какой табу­рет устой­чивее на неров­ном полу — о трёх или четы­рёх ножках? подробнее... Выход в пространство (совм. с С. Маркеловым) Выйдя в объем­лю­щее прос­тран­ство, зачас­тую можно узнать много инте­рес­ного об объекте подробнее... Нониус (верньер) Рас­сказ о том, как до­пол­нитель­ная шка­ла помо­гает повы­сить точ­ность изме­рений. подробнее... Кратчайшая Пере­летая из Мос­квы во Вла­дивос­ток, само­леты заби­раются высоко вверх по карте. Зачем де­лать такой крюк, а не ле­теть по прямой? подробнее... Невидимка (совм. с В. Ю. Протасовым) Бы­вают ли неви­димые тела? В 2009 году мате­матики дока­зали, что бывают! подробнее...

Механизмы П.Л. Чебышева (3)

Механизм с остановкой ведомого звена на полпути Прос­тое объя­снение тому, как дости­гаются оста­новки в меха­низмах П. Л. Чебышева подробнее... Сорти­ровал­ка П. Л. Чебы­шева Для реше­ния важной прак­тичес­кой задачи — сорти­ровки зерна, вели­чайший рос­сийский мате­матик Пафнутий Львович Чебышев при­думал краси­вую геомет­ричес­кую идею и на её основе соз­дал изящный меха­низм. подробнее... «Велосипед» П.Л. Чебышева Среди других изобра­жений, дошед­ших до нас в виде фото­альбома «Санкт-Петер­бург­ский Университет. 1896-1899», есть и фото­графия меха­ничес­кого каби­нета. На ней присут­ству­ет и механизм П.Л. Чебышева, извест­ный под наз­ванием «велосипед». подробнее...

Разное (4)

Кошечка (Н.Н. Константинов, В.В. Минахин, В. Ю. Пономаренко) Более 40 лет назад, 1968 год… Груп­па под ру­ко­вод­ством Нико­лая Нико­лае­вича Кон­стан­тинова соз­дает мате­мати­ческую модель дви­жения жи­вот­ного (кошки). Машина БЭСМ-4, выпол­няя напи­сан­ную прог­рам­му ре­ше­ния обык­новен­ных (в мате­мати­ческом смыс­ле слова) диф­ферен­циаль­ных урав­нений, рисует мульт­фильм «Кошечка», содер­жащий даже по сов­ремен­ным мер­кам уди­витель­ную ани­мацию дви­жений кош­ки, соз­дан­ную компью­тером. подробнее... Арифметика Магницкого В 1703 году Петр I орга­низо­вывает изда­ние пер­вого отечес­твен­ного учеб­ника по мате­матике. Появ­ляется «Ариф­метика» Леон­тия Филип­повича Маг­ниц­кого. А во вре­мена Север­ной вой­ны царь лично редак­тирует учеб­ник по гео­метрии... подробнее... Вычислительная техника 1950-х Ма­ши­на, мгно­вен­но про­изво­дя­щая че­тыре ариф­ме­ти­чес­ких дей­ствия… Та­бу­ля­тор, ко­то­рый сам печа­тает ре­зуль­таты вы­чис­лений… подробнее... Устойчивость перевёрнутого маятника (запись рассказа В. И. Арнольда) Может ли пере­вёр­нутый вверх ногами маят­ник быть устой­чивым? Оказы­вается — да, если точка под­веса совер­шает доста­точно частые верти­кальные коле­бания. подробнее...