Скачать фильм в высоком качестве Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576 — 320×240	[DivX, 7,9 Мбайта] [DivX, 2,4 Мбайта]	[Zipped DivX, 7,4 Мбайта] [Zipped DivX, 2,3 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Какого только вида не бывают развертки самых привычных для нас многогранников. Но неужели из этого куска картона можно сложить правильный тетраэдр?

Разложим тетраэдр в самую привычную развертку.

Проведем отрезок из угла большого треугольника к середине противоположной стороны (вершине исходного тетраэдра) и разрежем по нему наш кусок картона. Повернем часть развертки вокруг точки, отвечающей вершине тетраэдра. При этом мы склеим два ребра, но в изначальном тетраэдре они были ровно так же склеены, поэтому условия склейки границ нашей развертки мы не нарушили. Но теперь у нас добавился кусочек границы, которого не было в исходной развертке. Обозначим это «фальшивое» ребро красным цветом.

Давайте повторим операцию еще раз.

Опять проведем отрезок из угла к середине противоположной стороны и разрежем по нему. Сделаем поворот и склейку. Получился тот самый кусок картона, с которого мы начали фильм!

Давайте убедимся, что получившийся кусок картона является разверткой исходного многогранника. В левой части треугольника есть куски, которые мы не перекладывали с самого начала. Один из маленьких треугольничков соответствует части основания исходного тетраэдра. Совместим их.

А теперь будем «наматывать» нашу фигуру на тетраэдр. Как видим, все сходится!

Все отрезки красных — «фальшивых» — ребер оказались соединяющими треугольники, лежащие в одной плоскости и, значит, после склейки эти ребра пропадут. Те же отрезки, что были покрашены в желтый цвет, ложатся на ребра тетраэдра и являются настоящими ребрами.

На вопрос, можно ли из данного куска картона сложить выпуклый многогранник, отвечает теорема великого русского геометра Александра Даниловича Александрова. Где будут вершины этого многогранника, можно понять. А вот как между вершинами пройдут настоящие ребра в общем случае, до сих пор математики определять не умеют. Но это уже другая история, для другого Этюда…

	Скачать фильм в высоком качестве Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576 — 320×240	[DivX, 7,9 Мбайта] [DivX, 2,4 Мбайта]	[Zipped DivX, 7,4 Мбайта] [Zipped DivX, 2,3 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта

Литература

 • Н.П. Долбилин. Жемчужины теории многогранников. — М.: МЦНМО, 2000.

 • Н.П. Долбилин. Три теоремы о выпуклых многогранниках.
    Часть 1 // Квант. 2001. N 5. С. 7-12.
    Часть 2 // Квант. 2001. N 6. С. 3-10.

	Это развертка? Развертка Разрезание Перекладывание Разрезание Перекладывание Исходный тетраэдр Складывание Ребра тетраэдра