Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 20,6 Мбайта]  [DivX, 4,8 Мбайта]	[Zipped DivX, 18,8 Мбайта] [Zipped DivX, 4,4 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта
	Перед просмотром рекомендуем прочитать текст!

Шарнирный ромб, состоящий из звеньев одинаковой длины и использующий ползуны, передвигающиеся по красному неподвижному стержню,  реализует на плоскости осевую симметрию. Действительно, положение одного из зеленых шарниров задает положение и длину противоположной стороны своего треугольника, а треугольники, находящиеся по разные стороны от стержня, всегда равны. Значит, при любом положении механизма два зеленых шарнира симметричны относительно красного стержня.

Возьмем фигуру — криволинейный треугольник — и посмотрим, во что она перейдет под действием нашего механизма. Получится симметричная фигура. Она, в том числе, равна изначальной, но по-другому ориентирована. То есть, если бы плоскость была бесконечным листом бумаги с нарисованной на нем фигурой, то необходимо было бы сложить  лист по оси симметрии, при этом у одной его половинки поменяется верх с низом.

Применим теперь к уже получившемуся треугольнику наш механизм, реализующий симметрию, с осью, параллельной оси первого механизма. Получившийся треугольник имеет ту же ориентацию, что и самый первый, и получается из него параллельным переносом, т.е. сдвигом. Двойной параллелограмм, с двумя красными закрепленными шарнирами, реализует это преобразование на плоскости. Итак, результатом двух осевых симметрий с параллельными осями  является просто сдвиг. Верно и обратное — любой параллельный перенос можно разложить в две осевые симметрии с параллельными осями. Как нетрудно заметить, такое разложение не единственно.

Такой результат последовательных отображений называется в математике композицией, а в терминологии функций — сложной функцией. Так же, как и в аналитической записи, результат композиции можно получить, либо последовательно выполняя составляющие её действия, либо как-то преобразовав и применив уже в «упрощенном» виде. При этом преобразованный объект внешне может быть совершенно непохож на изначальные, из которых он получался.

А что же будет, если оси симметрий не параллельны?

Композицией двух осевых симметрий с непараллельными осями является поворот с центром в точке пересечения осей. При этом угол, на который поворачивается фигура, равен удвоенному углу между осями. Как и в случае со сдвигом, верно и обратное — любой поворот на плоскости раскладывается на две осевые симметрии.

Шарнирный механизм, основанный на ромбе, реализует преобразование поворота плоскости.

 А теперь к плоскости (на примере нашей фигуры) применим последовательно параллельный перенос, а затем поворот. Можно ли каким-то одним преобразованием совместить исходную и конечную фигуры?

Разложим использованный поворот на две симметрии. Из этой картинки видно, что этап получения серого треугольника и потом применения к нему одной симметрии можно заменить просто на одну симметрию. А такая картинка —  композиция двух осевых симметрий с непараллельными осями — нам уже знакома,  это есть просто  поворот.

Нарисуем треугольник на столе. Положив листок бумаги поверх, обведем фигуру. Поднимем листочек и отпустим, чтобы он случайным образом опустился на стол, но при этом не перевернулся. Тем самым получено, как говорят математики, «в общем виде» движение плоскости — преобразование, сохраняющее расстояния и не меняющее ориентацию. Конечно, могло так случиться, что фигуры отличаются параллельным переносом, но вероятность, что листочек ляжет  так аккуратно, очень мала. Во всех других случаях это — просто поворот с некоторым центром и на некоторый угол!

	Скачать фильм в высоком качестве  Скачать фильм в среднем качестве	— 768×576  — 320×240	[DivX, 20,6 Мбайта]  [DivX, 4,8 Мбайта]	[Zipped DivX, 18,8 Мбайта] [Zipped DivX, 4,4 Мбайта]
	Скачать локальную версию сайта