Лестница в бесконечность

В каком месте нужно взять кирпи­чик, чтобы он не пере­веши­вал ни в какую сто­рону? Конечно, посе­ре­дине. Центр тяже­сти одного кирпича нахо­дится на сред­ней линии. Зна­чит, этот кирпич можно положить на дру­гой, сме­стив отно­си­тельно ниж­него на поло­вину длины, и он не упа­дёт.

А в каком месте  нужно под­нимать постро­ен­ную систему? Нетрудно посчи­тать, что центр тяже­сти нашей кон­струкции из двух кирпи­чей нахо­дится на прямой,  смещён­ной на $1/4$ длины кирпича. Действи­тельно, центр тяже­сти верх­него кирпича про­еци­ру­ется на гра­ницу ниж­него, такая же масса рас­по­ложена посе­ре­дине ниж­него кирпича. Зна­чит, центр тяже­сти системы нахо­дится ровно посе­ре­дине поло­вины кирпича, т.е. на рас­сто­я­нии $1/4$ длины от края.

Трак­тор  при­во­зит ещё один кирпич. Как мы уже посчи­тали, верх­ние два могут быть сдви­нуты отно­си­тельно него  на одну чет­верть длины.

Бабочка — суще­ство лёг­кое, погруз­чику при­ятно поиг­рать с ней. Но вот она садится на кирпичи. Если она села в точку, кото­рая  про­еци­ру­ется на ниж­ний кирпич, то постро­ен­ная лест­ница не раз­ва­лится. Но вот она пере­ле­тела и  села чуть пра­вее, и лест­ница начала раз­ва­ли­ваться. Погруз­чику при­хо­дится торопиться, чтобы под­держать постро­ен­ную кон­струкцию и не дать упасть. Это ещё раз пока­зы­вает, что сдвиги на $1/2$ и $1/4$ длины кирпи­чей являются мак­сималь­ными, когда кон­струкция ещё устой­чива без цемента, а только под действием силы тяже­сти кирпи­чи­ков.

А где нахо­дится центр тяже­сти системы из трёх кирпи­чей? Центр тяже­сти системы верх­них двух кирпи­чей про­еци­ру­ется на самую гра­ницу ниж­него. Его же центр тяже­сти нахо­дится посе­ре­дине. Но теперь массы, при­ложен­ные к этим двум точ­кам, неоди­на­ко­вые — справа масса двух кирпи­чей, а слева только одного. Зна­чит, линия, содержащая центр тяже­сти системы трёх кирпи­чей с рас­смат­ри­ва­емыми сдвигами, делит рас­сто­я­ние между поло­ви­ной кирпича и краем в отноше­нии $2:1$, счи­тая от цен­тра. Т.е. про­хо­дит на рас­сто­я­нии $1/6$ длины кирпича от края.

Таким мето­дом можно посчи­тать, что, не желая поль­зо­ваться цемен­том, мы можем стро­ить лест­ницу, сдвигая систему из верх­них n кирпи­чей отно­си­тельно края ниж­него на $1/(2n)$ длины кирпича. Так мы и будем стро­ить, полу­чая на каж­дом шаге мак­сималь­ный возмож­ный сдвиг по гори­зон­тали.

Рас­смот­рим пер­вые сдвиги уже постро­ен­ной лест­ницы. Это $1/2$, $1/4$, $1/6$, $1/8$. Не трогая пер­вые два члена, сгруппи­руем $1/6$ и $1/8$, как матема­тики гово­рят, в «блок». Задви­нем верх­ний кирпи­чик так, чтобы все сдвиги в блоке были оди­на­ко­вые и рав­ня­лись наименьшему, т.е. $1/8$. Тогда суммар­ный сдвиг полу­чится $2\cdot1/8=1/4$. Таким обра­зом, сдвиг по гори­зон­тали, дава­емый этим бло­ком,  больше (мы же задвигали один кирпи­чик) $1/4$ длины кирпича.

Как раз­би­вать на блоки нашу лест­ницу — в нашем рас­по­ряже­нии. И сле­дующий блок, кото­рый мы рас­смот­рим, будет  состо­ять из четырёх кирпи­чи­ков. Это даст нам  общий сдвиг на $1/10+1/12+1/14+1/16$. Чтобы оце­нить сдвиг в каж­дом блоке, будем поступать оди­на­ково. Повто­рим действие, сде­лан­ное в пер­вом блоке — задви­нем верх­ние кирпи­чики так, чтобы их сдвиг рав­нялся наименьшему в блоке. Полу­чим, что к гори­зон­таль­ной длине лест­ницы четыре раза при­бав­ля­ется по $1/16$, т.е. $4\cdot1/16=1/4$ длины кирпича. Зна­чит, сдвиг по гори­зон­тали, дава­емый этим бло­ком, тоже  больше $1/4$ длины кирпича.

Вы уже усмот­рели общую схему? Сле­дующий блок будет состо­ять из $2^3$ кирпи­чи­ков, и наименьший сдвиг будет на $1/2^5$ длины кирпича. Соот­вет­ственно, общий сдвиг, дава­емый этим бло­ком,  будет тоже больше $1/4=2^3\cdot1/2^5$.

Таким спо­со­бом можно раз­бить всю нашу лест­ницу на блоки. Блок с номе­ром $n$ будет состо­ять из $2^n$ кирпи­чи­ков, и наименьший сдвиг в нём будет на $1/2^{ n+2 }$ длины кирпича. Общая длина блока будет больше чем $2^n\cdot1/2^{ n+2 }=1/4$.

Домножим  каж­дый член ряда на 2, а затем сокра­тим дроби. Мы полу­чим ряд $1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+...+1/n+...$ Этот ряд назы­ва­ется гар­мо­ни­че­ским. Он играет большую роль в матема­тике, и в каком-то смысле явля­ется погра­нич­ным. Если вы будете стро­ить лест­ницу (уже с исполь­зо­ва­нием цемента) со сдвигами большими, чем $1/n$ (т.е. в знаме­на­теле будет сто­ять число меньше $n$), то такая лест­ница уйдёт по гори­зон­тали в бес­ко­неч­ность.

В матема­тике подоб­ное свойство назы­вают рас­хо­димо­стью ряда — какое бы ни было зара­нее задано большое число, все­гда можно взять столько чле­нов ряда, что их сумма будет больше задан­ного числа. Один из кри­те­риев рас­хо­димо­сти — срав­не­ние с гар­мо­ни­че­ским рядом.

Уда­ля­ясь,  машинки бесе­дуют:
— Уди­ви­тельно, неужели лест­ница окажется и над этим местом?
— Мы же пока­зали, что можно взять сколь угодно много бло­ков, каж­дый по длине больше $1/4$ длины кирпича...

Лите­ра­тура

Уфна­ров­ский В. А. Матема­ти­че­ский аква­риум. Изда­ние 3-е, исправ­лен­ное и допол­нен­ное. — М. : МЦНМО, 2014.

Другие этюды раздела «Геометрия формул»