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Le triangle recourbé de Reuleaux

Cette animation montre comment un concept géométrique, étudié par les mathématiciens, est utilisé dans notre vie quotidienne.

Prenons une roue, c’est à dire un cercle. Une des propriétés du cercle est sa largeur constante. Dessinons deux tangentes parallèles au cercle, et fixons leur distance. Nous commençons à les faire tourner. La courbe (dans notre cas le cercle) est toujours en contact avec les deux lignes. C’est la définition même d’une courbe fermée avec une largeur constante.

Y a–t–il des autres courbes différentes du cercle qui ont la largeur constante?

Franz Reuleaux (1829–1905) était un scientifique allemand. Pour la première fois (1875) il a clairement formulé et résolu des problèmes fondamentaux liés à la structure et la cinématique des mécanismes; il a également considéré le problème de l’esthétique des objets technologiques.

Soit donné un triangle équilatéral (avec les côtés égaux). Sur chaque côté on construit un arc de cercle avec un rayon égal à la longueur du côté. La courbe ainsi obtenue s’appelle «triangle de Reuleaux».Il arrive que cette courbe a une largeur constante. Comme dans le cas du cercle, nous prenons deux lignes parallèles, fixons la distance entre eux et commençons à les faire tourner. Le triangle de Reuleaux est constamment en contact avec les deux barres parallèles. En fait, un point de contact est toujours situé dans l’un des sommets du triangle de Reuleaux, tandis que l’autre point, sur la droite parallèle, est un point de tangence avec l’arc opposé. Cela signifie que la largeur est toujours égale au rayon du cercle, à savoir la longueur du côté du triangle équilatéral initial.

En pratique, la largeur constante de cette courbe implique que si nous construisons des rouleaux ayant cette figure comme section, le livre va rouler sur eux, en restant parfaitement horizontal.

Cependant, on ne pourrait pas construire un chariot avec des roues à ce profil, car le centre de ces roues décrit une ligne compliquée alors qu’elles roulent sur un terrain plat.

Y a–t–il d’autres courbes de largeur constante? Oui, il y en a, en fait, une infinité.

A partir de n’importe quel polygone régulier avec un nombre impair de côtés, on peut construire une courbe de largeur constante en utilisant la même procédure utilisée pour construire le triangle de Reuleaux. Prenant chaque sommet comme centre, il faut tracer un arc de cercle entre les deux sommets du côté opposé. En Angleterre, la pièce de 20 pence a la forme d’une courbe de largeur constante, construite sur un heptagone.

Mais les courbes considérées n’épuisent pas la liste de toutes les courbes de largeur constante. Parmi eux, en fait, il ya aussi des courbes non–symétriques. Considérons n droites dans un plan qui se croisent au hasard (n’étant pas parallèles les unes aux autres). Elles identifient 2n domaines illimités. Chacun de ces secteurs a deux côtés qui vont à l’infini. Prenons l’intersection de ces deux côtés comme centre, et traçons un arc de cercle, avec un rayon assez grand, entre ces côtés. Puis nous passons au secteur adjacent et traçons un arc d’une façon pareille, cette fois son rayon est déterminé par le fait qu’il doit prolonger continuellement l’arc précédent. Etendons ce processus à tous les secteurs. La courbe ainsi obtenue, constituée d’arcs de cercles, est une courbe fermée de largeur constante. Démontrez–le!

Toutes les courbes d’une largeur donnée ont la même longueur. Le cercle et le triangle de Reuleaux avec la même largeur également partagent la propriété d’être des courbes extrémales parmi les courbes de la même largeur: le cercle entoure la surface d’aire maximale, et le triangle de Reuleaux la surface d’aire minimale.

Le triangle de Reuleaux n’est pas seulement intéressant pour les mathématiciens, cette figure a des applications surprenantes en mécanique.

Observez: il s’agit d’une “Mazda RX–7”. Contrairement à la majorité des voitures, en lui (comme dans le RX–8) il y a un moteur rotatif Wankel. Comment est il fait? Le rotor a la forme d’un triangle de Reuleaux! Entre lui et les parois trois chambres se forment, dont chacune est à son tour une chambre de combustion. L’essence (en bleue), une fois introduite, en raison du mouvement du rotor est comprimé, ensuite, à cause de l’éclatement, le rotor tourne. Le moteur rotatif est exempt de certains défauts de la contrepartie à piston: la rotation est directement transmise à l’axe et il n’est donc pas nécessaire d’utiliser l’arbre de transmission.

Celui–ci c’est un mécanisme de projection de films. Le moteur d’un appareil pareil, en fait, génère une rotation continue autour d’un axe, mais afin d’avoir des images nettes sur l’écran, chaque image doit rester un moment immobile, tandis que la transition d’un cadre à l’autre doit se dérouler dans un temps beaucoup plus court. Tout cela 18 fois par seconde. Ce problème est effectivement résolu simplement par un mécanisme qui est basé sur le triangle de Reuleaux, inscrite dans un carré, et un double parallélogramme, ce qui empêche au carré de s’incliner. En fait, comme les longueurs des côtés opposés sont égaux, l’élément central pendant les mouvements reste parallèle à la base et le côté du carré reste toujours parallèle à l’élément central. Plus l’axe de rotation est proche d’un sommet du triangle de Reuleaux, plus la dent du mécanisme décrit une figure qui ressemble à un carré.

Nous avons donc appris des applications intéressantes de purs objets mathématiques.

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