Il volume della sfera

Se si registra su un CD o un DVD, la parte contenente i dati trascritti risulta più scura di quella ancora non utilizzata.

È maggiore lo spazio libero, nel disco mostrato in figura, di quello utilizzato?

Dal punto di vista della matematica, il CD o il DVD è un anello. Il raggio del cerchio interno, su cui non si può scrivere nulla, è di due centimetri, mentre il raggio di un disco standard è di sei centimetri. L’informazione viene registrata secondo un tracciato a spirale dal cerchio minore a quello maggiore. Poiché a una stessa quantità di informazione corrisponde una stessa lunghezza della traccia, il volume totale di informazione contenuto in un disco è proporzionale all’area dell’anello occupato.

Iniziamo a masterizzare il disco come lo fa il computer. Se la larghezza dell’anello occupato (interno) sarà uguale alla larghezza dell’anello libero (esterno) , esattamente pari a due centimetri, allora è evidente che la superficie occupata è inferiore alla superficie libera. Inoltre, persino se si aggiunge alla superficie occupata l’area di tutto il disco interno, sul quale nulla è scritto, la superficie sarà lo stesso inferiore a quella libera.

Affinché l’area occupata sia pari alla metà dell’area disponibile sul disco, l’anello occupato deve avere una larghezza di circa 2.5 cm, e quello esterno di circa 1.5 cm.

Qual è la ragione di questo?

Sul piano una sfera è un disco e il suo volume è l’area di questo disco. Come ben sapete, l’area del disco di raggio $R$ è uguale a $\pi R^2$. Per calcolare l’area di un anello, dobbiamo togliere l’area del disco interno di raggio r dall’area del disco grande, ottenendo così $\pi\cdot(R^2-r^2)$. Poiché l’area dipende dal quadrato del raggio, anelli con la stessa larghezza danno all’area un contributo sempre più grande, quanto più diventano grandi i raggi dei loro bordi.

Nel nostro spazio tridimensionale il volume della sfera dipende dal raggio elevato alla terza potenza. Questo implica che l’effetto considerato diventa ancora più considerevole: una grande parte del volume della sfera si trova vicino alla sua superficie!

Qual è più grande, quanto a volume, in questa arancia: la buccia o la polpa? La buccia consiste di uno strato non spesso, ma è vicino al bordo della sfera. E questo volume nel caso mostrato in figura è uguale a quello dalla parte mangiabile dell’arancia. Comprando un’arancia con la buccia spessa, quanto a volume ne acquistate principalmente la buccia.

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