Corpi invisibili

in collaborazione con V. Yu. Protasov

It was night outside long before the business was over,
and nothing was to be seen but
the dim eyes and the claws.

Herbert Wells. The Invisible Man. 1897.

Гер­берт Уэллс три­жды был в Рос­сии. Во вре­мя вто­ро­го сво­е­го ви­зи­та, уже в Со­вет­ский Со­юз, встре­чал­ся с Яко­вом Ис­и­до­ро­ви­чем Пе­рель­ма­ном, ко­то­рый об­ра­тил вни­ма­ние ав­то­ра «Че­ло­ве­ка-неви­дим­ки» на сле­ду­ю­щий факт: ес­ли че­ло­век весь неви­дим, то и глаз­ные хру­ста­ли­ки неви­ди­мы, а зна­чит, не пре­лом­ля­ют свет и не со­би­ра­ют изоб­ра­же­ние на сет­чат­ке. Та­кой че­ло­век не мо­жет сам ви­деть!

Так бы­ва­ют ли неви­ди­мые те­ла, пусть и неоду­шев­лен­ные? В 2009 го­ду ма­те­ма­ти­ки до­ка­за­ли, что неоду­шев­лен­ные — бы­ва­ют!

Но нач­нем с ве­ка XVII-го. В «Ма­те­ма­ти­че­ских на­ча­лах на­ту­раль­ной фило­со­фии» ("Philosophiae Naturalis Principia Mathematica") Иса­ак Нью­тон изу­ча­ет за­да­чу о па­де­нии (дви­же­нии) раз­лич­ных тел в «ред­кой сре­де, со­сто­я­щей из рав­ных ча­стиц, сво­бод­но рас­по­ло­жен­ных в рав­ных друг от дру­га рас­сто­я­ни­ях», при столк­но­ве­нии с те­лом от­ле­та­ю­щих аб­со­лют­но упру­го. Впо­след­ствии эта за­да­ча по­лу­чи­ла на­зва­ние «аэро­ди­на­ми­че­ская за­да­ча Нью­то­на».

Пер­вые два те­ла, ко­то­рые он рас­смат­ри­ва­ет, — шар и ци­линдр, опи­сан­ные на рав­ных диа­мет­рах. Ка­кое из этих тел бу­дет иметь мень­шее со­про­тив­ле­ние? Гео­мет­ри­че­ски­ми ме­то­да­ми Нью­тон по­ка­зы­ва­ет, что у ша­ра со­про­тив­ле­ние бу­дет в два ра­за мень­ше.

Да­лее Нью­тон пе­ре­хо­дит к рас­смот­ре­нию ко­ну­сов вра­ще­ния. Сре­ди всех ко­ну­сов с фик­си­ро­ван­ным ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния и фик­си­ро­ван­ной вы­со­той най­ти тот — воз­мож­но, ост­рый, а быть мо­жет, усе­чен­ный — у ко­то­ро­го со­про­тив­ле­ние в ред­кой сре­де при дви­же­нии вдоль оси вра­ще­ния бу­дет ми­ни­маль­ным.

Рас­смот­рим се­че­ние ко­ну­са и за­да­чу в плос­ком слу­чае.

Что же та­кое со­про­тив­ле­ние? При па­де­нии ко­нус стал­ки­ва­ет­ся с ша­ри­ка­ми — ча­сти­ца­ми ред­кой сре­ды. Часть ша­ри­ков по­па­да­ет в ма­лое ос­но­ва­ние ко­ну­са, часть — в бо­ко­вую по­верх­ность, неко­то­рые про­ле­та­ют ми­мо и во­об­ще не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на дви­же­ние ко­ну­са. При упру­гом столк­но­ве­нии с ко­ну­сом ша­рик ме­ня­ет на­прав­ле­ние дви­же­ния по за­ко­ну «угол па­де­ния ра­вен уг­лу от­ра­же­ния». Из­ме­не­ние вер­ти­каль­ной со­став­ля­ю­щей век­то­ра им­пуль­са ша­ри­ка и есть то со­про­тив­ле­ние, ко­то­рое ша­рик ока­зал па­де­нию ко­ну­са. Так как в сред­нем ша­ри­ки рав­но­мер­но уда­ря­ют­ся о по­верх­ность те­ла, то сдви­ги впра­во-вле­во ком­пен­си­ру­ют друг дру­га и не рас­смат­ри­ва­ют­ся.

В плос­ком слу­чае со­про­тив­ле­ние се­че­ния ко­ну­са про­пор­цио­наль­но сум­ме пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ка, по­стро­ен­но­го на ма­лень­ком ос­но­ва­нии, и па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на бо­ко­вой сто­роне. И это со­про­тив­ле­ние на­до све­сти к ми­ни­му­му. Ес­ли по­счи­тать, то наи­мень­шей пло­щадь зе­ле­ной фигу­ры бу­дет в том слу­чае, ес­ли угол меж­ду ос­но­ва­ни­ем и об­ра­зу­ю­щей бу­дет ра­вен 135°. То есть ша­рик по­сле со­уда­ре­ния с об­ра­зу­ю­щей бу­дет от­ле­тать стро­го го­ри­зон­таль­но.

Сле­ду­ет ли из ре­ше­ния за­да­чи в плос­ком слу­чае, что оп­ти­маль­ный ко­нус в трех­мер­ной за­да­че бу­дет удо­вле­тво­рять то­му же усло­вию? Ока­зы­ва­ет­ся, нет. Чтобы пе­рей­ти от се­че­ния к са­мо­му те­лу, нуж­но плос­кую кар­тин­ку про­вра­щать от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси. Бо­лее да­ле­кие от оси вер­ти­каль­ные от­рез­ки, об­ра­зо­вы­вав­шие пло­щадь, бу­дут про­хо­дить бо­лее длин­ный путь при вра­ще­нии и бу­дут вно­сить боль­ший вклад в объ­ем, со­от­вет­ствен­но ми­ни­мум объ­е­ма в ис­ход­ной за­да­че ис­кать по плос­кой кар­тин­ке нель­зя.

В трех­мер­ном слу­чае со­про­тив­ле­ние си­не­го ко­ну­са про­пор­цио­наль­но объ­е­му зе­ле­но­го те­ла, и нуж­но най­ти ми­ни­мум это­го объ­е­ма. Нью­тон по­ка­зы­ва­ет, что ко­нус бу­дет оп­ти­маль­ным — иметь наи­мень­шее со­про­тив­ле­ние — при сле­ду­ю­щем усло­вии. Возь­мем се­ре­ди­ну вы­со­ты и со­еди­ним ее с точ­кой ос­но­ва­ния ко­ну­са. От­ло­жим та­кой же по длине от­ре­зок вер­ти­каль­но вниз от се­ре­ди­ны вы­со­ты. Об­ра­зу­ю­щая оп­ти­маль­но­го ко­ну­са долж­на ле­жать на ос­но­ва­нии по­лу­чив­ше­го­ся рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Уди­ви­тель­но, что ко­нус с наи­мень­шим со­про­тив­ле­ни­ем бу­дет усе­чен­ным!

А ка­ко­во бу­дет наи­луч­шее, в смыс­ле ми­ни­маль­но­сти со­про­тив­ле­ния, вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния при дан­ной ши­рине и вы­со­те? Несмот­ря на от­сут­ствие в то вре­мя ва­ри­а­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния (имен­но ме­то­да­ми этой на­у­ки сей­час ре­ша­ют­ся та­кие за­да­чи), Нью­тон на­хо­дит от­вет и на этот во­прос. Он по­ка­зы­ва­ет, что наи­луч­шее вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния бу­дет не силь­но от­ли­чать­ся от оп­ти­маль­но­го ко­ну­са, и в точ­но­сти вы­чис­ля­ет об­ра­зу­ю­щую это­го те­ла. Опре­де­лив наи­луч­шее вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния, он пи­шет: «Я счи­таю, что это пред­ло­же­ние мо­жет быть не бес­по­лез­но при по­стро­е­нии су­дов».

Со вре­мен Иса­а­ка Нью­то­на, бо­лее 300 лет, уче­ные рас­смат­ри­ва­ли аэро­ди­на­ми­че­скую за­да­чу в ред­кой сре­де в той по­ста­нов­ке, что бы­ла сфор­му­ли­ро­ва­на им — най­ти вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния. Ка­за­лось есте­ствен­ным, что наи­луч­шее те­ло долж­но быть вы­пук­лым. Лишь в XXI ве­ке от­ка­за­лись от усло­вия вы­пук­ло­сти, и это при­ве­ло к уди­ви­тель­ным ре­зуль­та­там!

Возь­мем, к при­ме­ру, наи­луч­шее те­ло, най­ден­ное Нью­то­ном, и в его плос­кой ча­сти сде­ла­ем тре­уголь­ную вы­ем­ку. Те­ло станет уже невы­пук­лым, но его со­про­тив­ле­ние умень­шит­ся по срав­не­нию с ис­ход­ным вы­пук­лым. Дей­стви­тель­но, ес­ли вы­ем­ка не слиш­ком глу­бо­кая, то по­сле со­уда­ре­ния ша­рик от­ско­чит по на­клон­ной и боль­ше не уда­рит­ся о те­ло. Вер­ти­каль­ная со­став­ля­ю­щая век­то­ра им­пуль­са ша­ри­ка, а зна­чит, и тор­мо­же­ние те­ла при та­ком со­уда­ре­нии бу­дет мень­ше, чем при от­ско­ке от го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти.

Рас­смот­рим две ин­те­рес­ные кон­струк­ции невы­пук­лых тел, пред­ло­жен­ные в ра­бо­те А.Ю. Пла­хо­ва.

Плос­кое се­че­ние пер­вой кон­струк­ции со­сто­ит из двух кус­ков па­ра­бол, рас­по­ло­жен­ных так, что фо­кус и ось сим­мет­рии у них об­щие. Дви­же­ние бу­дет про­ис­хо­дить вдоль оси па­ра­бол. Как Вы помни­те, у па­ра­бо­лы есть оп­ти­че­ское свой­ство — лу­чи, па­рал­лель­ные оси, по­сле от­ра­же­ния от па­ра­бо­лы про­хо­дят через фо­кус. В рас­смат­ри­ва­е­мой кон­струк­ции часть ша­ров, с ко­то­ры­ми стал­ки­ва­ет­ся та­кое те­ло, по­па­да­ет в верх­нюю часть ма­лень­кой па­ра­бо­лы и ока­зы­ва­ет со­про­тив­ле­ние дви­же­нию. Боль­шин­ство же ша­ров от­ра­жа­ет­ся от боль­шой па­ра­бо­лы, про­хо­дит через фо­кус, за­тем от­ра­жа­ет­ся от ма­лень­кой па­ра­бо­лы и ухо­дит па­рал­лель­но из­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию. В ред­кой сре­де Нью­то­на та­кие ша­ры не уве­ли­чи­ва­ют со­про­тив­ле­ние те­ла — они не те­ря­ют вер­ти­каль­ную со­став­ля­ю­щую им­пуль­са, ухо­дят по­сле столк­но­ве­ния па­рал­лель­но из­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию, хо­тя и сме­ща­ют­ся от­но­си­тель­но него.

Ту часть кон­струк­ции, от ко­то­рой от­ра­жа­ют­ся ша­ры, мож­но умень­шать, не ме­няя ос­нов­ной идеи.

Про­вра­ща­ем кон­струк­цию из двух па­ра­бол во­круг вер­ти­каль­ной оси. По­лу­чим некий вид ле­та­ю­щей та­рел­ки. Ес­ли по­смот­реть на неё свер­ху, то пло­щадь, за­ни­ма­е­мая та­кой та­рел­кой, очень боль­шая. А вот пло­щадь, на ко­то­рой воз­ни­ка­ет со­про­тив­ле­ние, мож­но сде­лать сколь угод­но ма­лой. При дви­же­нии вдоль сво­ей оси вра­ще­ния та­кой ап­па­рат в ред­кой сре­де Нью­то­на бу­дет иметь сколь угод­но ма­лое со­про­тив­ле­ние.

А бы­ва­ют ли те­ла со­всем без со­про­тив­ле­ния? Ока­зы­ва­ет­ся, бы­ва­ют и та­кие!

Кон­струк­ция ос­но­ва­на на тре­уголь­ни­ке с уг­ла­ми 30, 30 и 120 гра­ду­сов. Возь­мем на рас­сто­я­нии двух вы­сот сим­мет­рич­ный от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси та­кой же тре­уголь­ник.

По­смот­рим, что про­ис­хо­дит, ко­гда эта плос­кая кон­струк­ция дви­жет­ся в на­прав­ле­нии оси сим­мет­рии в ред­кой сре­де Нью­то­на.  С неко­то­ры­ми ша­ра­ми она во­об­ще не стал­ки­ва­ет­ся, и они не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на дви­же­ние. Те же ша­ры, с ко­то­ры­ми она стал­ки­ва­ет­ся, от­ра­жа­ют­ся все­гда от обо­их тре­уголь­ни­ков и ухо­дят по на­прав­ле­нию, па­рал­лель­но­му оси сим­мет­рии, без из­ме­не­ния век­то­ра им­пуль­са. Та­ким об­ра­зом, со­про­тив­ле­ние в мо­де­ли Нью­то­на те­ла, по­лу­чен­но­го вра­ще­ни­ем та­кой кон­струк­ции во­круг оси, рав­но ну­лю!

Чтобы про­сле­дить за тра­ек­то­ри­я­ми ша­ри­ков — ча­стиц сре­ды —  их пу­ти изоб­ра­жа­лись в ви­де лу­ча. Но ведь имен­но по этой тра­ек­то­рии бу­дет рас­про­стра­нять­ся и оп­ти­че­ский луч! Ес­ли по­след­нюю кон­струк­цию из двух тре­уголь­ни­ков сде­лать из зер­кал, то в ча­сти изоб­ра­же­ния, ко­то­рое мы бу­дем ви­деть через нее, по­ме­ня­ют­ся пра­вая и ле­вая сто­ро­ны. Но ес­ли взять еще од­ну та­кую же кон­струк­цию из двух тре­уголь­ни­ков и при­ста­вить свер­ху, то по­лу­чив­ша­я­ся оп­ти­че­ская си­сте­ма уже не бу­дет ни ис­крив­лять лу­чи, ни пе­ре­став­лять их.

Про­вра­ща­ем плос­кую кон­струк­цию с на­не­сен­ным зер­каль­ным по­кры­ти­ем на внут­рен­них сто­ро­нах во­круг оси сим­мет­рии. По­лу­чим те­ло, ко­то­рое сна­ру­жи — ци­линдр, а внут­ри со­сто­ит из че­ты­рех зер­каль­ных ко­ну­сов. Ес­ли смот­реть через этот «ци­линдр» вдоль оси сим­мет­рии, то он бу­дет неви­дим!

В сво­ей ра­бо­те А.Ю. Пла­хов так­же рас­смат­ри­ва­ет, как сде­лать плащ-неви­дим­ку для лю­бо­го те­ла. На­кры­тый та­ким пла­щом пред­мет ста­но­вит­ся по­чти неви­ди­мым.

Ко­неч­но же, та­кие кон­струк­ции не от­кло­ня­ют (или по­чти не от­кло­ня­ют в слу­чае пла­ща-неви­дим­ки) толь­ко те лу­чи, ко­то­рые па­рал­лель­ны оси сим­мет­рии. И для че­ло­ве­че­ско­го гла­за «неви­ди­мый ци­линдр» бу­дет дей­стви­тель­но по­чти неви­дим, толь­ко бу­дучи рас­по­ло­жен до­ста­точ­но да­ле­ко. Воз­мож­но, кто-то из зри­те­лей, ис­поль­зуя зна­ния ма­те­ма­ти­ки, а быть мо­жет, и дру­гих на­ук, в бу­ду­щем по­стро­ит пол­но­стью неви­ди­мые для че­ло­ве­ка пред­ме­ты.

Vedere anche in sezione ”Altri temi interessanti”15