A che profondità si trova la stazione del metrò

in collaborazione con S. P. Konovalov

Come stimare la profondità di una stazione del metrò, alla quale state accedendo tramite una scala mobile? Accade che anche per rispondere a questo quesito può essere utile la conoscenza della matematica! E in particolare, della trigonometria.

La scala–mobile della metropolitana... Quante cose sono nascoste dietro a queste parole per un osservatore curioso. Una macchina enorme sempre in movimento, una “scala vivente”...

Tutto cominciò alla fine del XIX secolo, quando il costruttore americano Jesse W.Reno (1861–1947) brevettò la prima “scala vivente”. Nella sua costruzione invece dei gradini fissati a una nastro “infinito” gli scalini erano dei cilindri longitudinali. Ma la prima scala mobile pubblica fu prodotta, in accordo col suo inventore Charles D. Seeberger (1857–1931) dalla fabbrica “Otis” e fu esposta all’Esposizione di Parigi del 1900. Aveva dei gradini orizzontali, che uscivano da sotto una recinzione su una piattaforma di ingresso e scomparivano sotto la stessa recinzione su un’altra piattaforma d’ingresso; questo meccanismo dava parecchi problemi. Nel 1921 entrambe le idee – gli scalini orizzontali e i cilindri – furono messe insieme per costruire un nuovo modello, che da quel momento in poi si è sempre usato.

Quando negli anni trenta si incominciò a progettare la metropolitana di Mosca, si cercò di fare uso delle esperienze straniere. Tuttavia, sia il costo sia il tempo richiesto per l’esecuzione da parte delle ditte straniere erano così grandi che l’idea fu abbandonata. Allora il direttore della filiale di Londra della ditta “Otis” scrisse così al rappresentante del Consiglio di Mosca: “I vostri specialisti sono persone capaci. Ma quello delle scale mobili è un affare estremamente complicato, e da questo problema non ne verrete fuori. Persino noi, con la nostra esperienza decennale, non siamo in grado di eseguire il progetto con tali scadenze. Io, come amico dell’Unione Sovietica, ho il dovere di avvisarvi che la data dell’avvio della metropolitana può non essere rispettata”. Ma gli ingegneri e gli scienziati sovietici riuscirono a risolvere questo problema singolare, e nel febbraio 1935 una scala mobile incominciava a trasportare i passeggeri alla stazione della metropolitana di Mosca.

Uno degli elementi importanti della scala mobile è lo scalino. Esso ha quattro rulli, due grandi e due piccoli. Sia i grandi sia i piccoli ruotano lungo le loro proprie rotaie.

Quando si progettarono le scale mobili, anche la scelta dei materiali per i rulli fu un problema molto importante e difficile. La metropolitana di Mosca è aperta circa dalle 6 del mattino fino all’una di notte. Vale a dire, più di 19 ore – cioè più di 68000 secondi al giorno. La velocità minima di funzionamento di una scala mobile è 0.75 m/s, il che significa che ogni scalino in un giorno fa 50 chilometri. E così, instancabilmente, giorno dopo giorno, in un anno fa più di 18 mila chilometri! Potete immaginare di che materiale debbano essere fatti i rulli, per sorreggere senza riparazioni e sostituzioni regolari una quantità abbastanza elevata di passeggeri che si muovono sugli scalini. E questo è solo un dettaglio e un problema dei tutti quelli che gli ingegneri sovietici dovevano allora risolvere, e di questi problemi che ne erano migliaia.

Ecco come appare all’incirca lo schema di una scala mobile. Se la guardiamo di profilo, vediamo che la mutua posizione delle rotaie dei rulli grandi e di quelli piccoli definisce la proprietà fondamentale della scala mobile: nella parte superiori della “scala vivente”, su cui vanno i passeggeri, i gradini sono sempre orizzontali. Ma nella parte inferiore i gradini si rovesciano e diventano paralleli alle rotaie, risparmiando spazio del tunnel dove scorrono.

Ma torniamo alla nostra domanda sulla profondità, cioè di quanto scende la scala mobile. Il fatto sorprendente è che tutte le scale mobili russe, dalle prime fino a quelle dei nostri giorni, sono inclinate di 30 gradi rispetto all’orizzontale!

Costruiamo mentalmente una scala mobile su un triangolo rettangolo. La lunghezza della sua ipotenusa è la lunghezza della scala mobile, mentre la lunghezza del cateto più corto è circa uguale alla profondità della stazione del metrò a cui questa scala conduce.

Ma come calcolare la lunghezza della scala, mentre si scende su di essa? Si potrebbe misurare il tempo, ma allora per il calcolo del percorso occorrerebbe sapere con precisione la velocità dello spostamento, che però può variare da .75 m/s fino a 1 m/s e l’errore – di un quarto – è piuttosto grande.

Si potrebbero calcolare le misure di uno scalino, ma in questo caso capire quanti ce ne sono sull’ipotenusa, mentre ci si muove sulla scala mobile, è complicato...

Che possiamo ancora utilizzare? Scendendo o salendo lungo una scala mobile, incontriamo continuamente dei lampioni! La distanza fra di essi non è fissata, ma secondo le regole governative, è necessaria una certa illuminazione del tunnel. E in totale si ottiene che i lampioni distano tra loro circa cinque metri.

Scendendo sulla scala mobile, si può contare il numero dei lampioni. Che cosa dobbiamo fare poi, per calcolare la lunghezza dell’ipotenusa?

Non abbiate fretta di moltiplicare per 5. Per il conto della lunghezza non ci serve il numero dei lampioni, ma la quantità delle distanze fra loro! Dal numero contato dei lampioni bisogna sottrarre 1, dopodiché si può moltiplicare per 5 e per il seno di 30°.

Il bello a questo punto sta nel fatto che il seno di 30° è uguale a 1/2, e con questo numero è facile fare il conto a mente! Sicché la formula ottenuta per la profondità di una stazione è veramente facile sia da calcolare sia da ricordare.

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