→

Этюды

Этюды

Новый этюд

Ажурная башня

Историческая реконструкция постройки башни В. Г. Шухова на Шаболовке в 1919—1922 годах.

Раздел содержит этюды, среди которых занимательные научно-популярные рассказы о современных задачах математики и мультфильмы, по-новому раскрывающие известные сюжеты.

Замечательные кривые4

Циклоида (совм. с Е. Зёрнышкиной)

На пути байка попался камушек, который застрял в протекторе колеса. Провернувшись несколько кругов с колесом, куда полетит камень, когда выскочит из протектора?

Эллипс

Точка, точка, запятая — вышла рожица кривая. Почти так же можно нарисовать кривую, называющуюся в математике «эллипс».

Параболическая антенна

Почему большинство современных спутниковых антенн выглядят одинаково? Ответ на этот вопрос в неявном виде вы проходили в школе.

Цепная линия

А вы умеете ездить на квадратных колёсах?

Кривые (фигуры) постоянной ширины3

Круглый треугольник Рело

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом равным длине стороны. Эта кривая и носит имя «треугольник Рело».

Сверление квадратных отверстий

Можно высверливать не только круглые, но и квадратные отверстия! Нужно только специальное сверло. Какое именно, вы узнаете, посмотрев этот мультфильм.

Изобретая колесо

Может ли повозка ехать без тряски по ровной поверхности на некруглых колесах?

Интерактивные фильмы4

Интерактивная головоломка «Теорема Пифагора»

Красивое интерактивное доказательство теоремы Пифагора.

Площадь трапеции

Интерактивное доказательство формулы площади трапеции

Формула Пика

Интерактивное вычисление площади нарисованного вами многоугольника.

Хитрое изгибание

Можно ли разрезать прямоугольный лист бумаги, а затем изогнуть так, чтобы получить представленную фигуру, не пользуясь клеем?

Внутренняя геометрия многогранников4

Развёртка

Что такое развёртка многогранника? Вы скажете — кусок картона, из которого можно свернуть данный многогранник. В этом есть правда, но это не вся правда. Оказывается, понятие развёртки включает в себя больше, чем просто кусок картона.

И это развёртка?!

Какого только вида не бывают развёртки самых привычных для нас многогранников…

Анти-Дюрер (совм. с Н. П. Долбилиным)

Нерешённая задача: найти выпуклый многогранник, ни одна рёберная развёртка которого, состоящая из одного куска, не умещается в плоскость без самопересечений.

Кубистский паркет (совм. с С. П. Коноваловым)

Сколькими способами можно разрезать куб, сделанный из картона, по рёбрам, чтобы образовавшиеся куски картона можно было расположить в плоскости? Любопытно, что паркет в вашей комнате можно сделать из досочек в виде любой из рёберных развёрток куба.

Внешняя геометрия многогранников4

Увеличение объёма выпуклых многогранников

Помните как выглядел пакет молока в советское время? Удивительно, что вся страна покупала эти пакеты почти каждый день на протяжении более 20 лет, но мало кто сейчас помнит точно, что на них было нарисовано…

Удивительные объёмы многогранников

Можно ли из одинаковых граней сложить выпуклый и невыпуклый многогранники? Конечно, можно, скажете вы. У которого из них объём будет больше?

Кусочно гладкое вложение многогранника

Можно ли развёртку многогранника свернуть в замкнутое тело, не являющееся многогранником? Удивительно насколько юна математика. Примеры, которые рассматриваются, являются первыми построенными и родились только осенью 2004 года.

Изгибаемые многогранники

Если вам приходилось собирать дома шкаф, то прекрасно помните, что пока не прибита задняя стенка, он изгибается. Бывают ли замкнутые изгибаемые многогранники?

Шарнирные механизмы7

Шарнирные механизмы

Все видели, как быстро сметают воду «дворники» с лобового стекла машины. Но если показать механику такую систему, он скажет, что она работать не может!

Стопоходящая машина П. Л. Чебышева

Думаете, шагающие машины — это дело далёкого будущего, времен «Звёздных войн» Лукаса? Ошибаетесь! Первую в мире такую машину изобрёл во второй половине XIX века российский математик П. Л. Чебышев, назвав её стопоходящей.

Прямило Липкина

Со времён изобретения Джеймсом Уаттом паровой машины стояла задача построения шарнирного механизма, переводящего движение одного шарнира по окружности в движение другого шарнира по прямой. Длительное время учёные и инженеры искали решение. Помогла им красивая математика…

Сдвиг и поворот

Поднимем листочек и отпустим, чтобы он случайным образом опустился на стол, но при этом не перевернулся. Почти всегда конечное положение и начальное будут различаться просто поворотом!

Трисекция угла

Задача о делении произвольного угла на три равные части не может быть решена с помощью освящённых евклидовой геометрией инструментов — циркуля и линейки. Однако, существует плоский шарнирный механизм, который позволяет это сделать!

Парадоксальный механизм П. Л. Чебышева

Казалось бы, плоский шарнирный механизм должен работать однозначно, однако, как показывает «парадоксальный» механизм, изобретённый П. Л. Чебышевым, это не всегда так. И причиной являются особые точки…

Степени свободы (совм. с М. Ковалёвым)

Всегда ли за конкретным механизмом «закреплено» определенное неизменное число степеней свободы? Или же бывают механизмы, у которых переменное число степеней свободы? Оказывается, бывают…

Наилучшее расположение точек3

Контактное число шаров и сферические коды

Читая этот текст или скачивая фильм, вы, возможно, использовали решение задачи о контактном числе шаров в восьмимерном пространстве. Удивлены? В конце фильма рассказывается, какое применение находит эта известная математическая задача в технике.

Задача Томсона (совм. с В. А. Юдиным)

Поместим на сферу N одинаковых зарядов. К каким расположениям будут стремиться заряды, пытаясь минимизировать потенциальную энергию системы? Задача возникла на рубеже XIX и XX веков, однако до сих пор решена только в малом количестве частных случаев…

Хорошая конструкция

Как расположатся несколько зарядов на отрезке, пытаясь минимизировать энергию системы? Оказывается, что в нулях многочлена Якоби, которые были придуманы задолго до возникновения самой задачи о зарядах.

Непрерывность2

Непрерывность

Детское, казалось бы, наблюдение, основанное на понятии непрерывности, является мощным средством, используемым при доказательстве некоторых математических утверждений.

Задача о бутерброде

Можно ли бутерброд из хлеба, сыра и колбасы разрезать одной плоскостью на две части поровну?

Поверхности второго порядка1

Ажурная башня

Историческая реконструкция постройки башни В. Г. Шухова на Шаболовке в 1919—1922 годах.

Другие интересные темы16

Одним разрезом

На листе бумаги нарисовали произвольный многоугольник. Можно ли так сложить лист бумаги, чтобы вырезать многоугольник одним прямолинейным разрезом?

Лестница в бесконечность (совм. с С. П. Коноваловым)

Две машинки — трактор и погрузчик — строят лестницу, уходящую по горизонтали в бесконечность. Увлечённые постройкой, они доказывают расходимость гармонического ряда.

Уголковый отражатель

Что общего между велосипедом и луноходом? Почему велосипедный катафот виден в ночи только тому водителю, фары чьей машины его освещают, и не виден другим?

Тени (совм. с А. Я. Канелем-Беловым)

Три ортогональные проекции тела — квадраты. Обязательно ли тело — куб?

Глубина заложения (совм. с С. П. Коноваловым)

Эскалатор метро… Как много в этих словах скрыто для любого интересующегося человека. Как оценить глубину заложения станции метро, на которую вы спускаетесь по эскалатору? Оказывается и в этом житейском вопросе может помочь знание математики!

Объём шара

Покупая апельсин с толстой кожурой, по объёму вы приобретаете в основном кожуру…

Геометрия поворота

Параллельны ли друг другу передние колёса автомобиля при повороте?

Мятый рубль

Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги (рубль) в плоский многоугольник так, чтобы периметр конечного многоугольника был больше периметра исходного прямоугольника?

Площади фигур

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Легко посчитать площадь фигуры, разбивающейся на несколько квадратов. А чему равна площадь фигуры, ограниченной произвольной кривой?

Экранировать луч

Можно ли закрыть лучи, распространяющиеся в плоскости, круглыми зеркальными колоннами?

Аксиомы

Какой табурет устойчивее на неровном полу — о трёх или четырёх ножках?

Выход в пространство (совм. с С. В. Маркеловым)

Выйдя в объемлющее пространство, зачастую можно узнать много интересного об объекте.

Нониус (верньер)

Рассказ о том, как дополнительная шкала помогает повысить точность измерений.

Кратчайшая

Перелетая из Москвы во Владивосток, самолёты забираются высоко вверх по карте. Зачем делать такой крюк, а не лететь по прямой?

Невидимка (совм. с В. Ю. Протасовым)

Бывают ли невидимые тела? В 2009 году математики доказали, что бывают!

Колёсная пара

Одинаковый ли путь проходят одинаковые колёса, вращающиеся с одинаковой угловой скоростью? Оказывается, не всегда! Например, это не так для колёсной пары вагона метро при прохождении поворотов.

Разное4

Кошечка (Н. Н. Константинов, В. В. Минахин, В. Ю. Пономаренко)

Более 40 лет назад, 1968 год… Группа под руководством Николая Николаевича Константинова создаёт математическую модель движения животного (кошки). Машина БЭСМ-4, выполняя написанную программу решения обыкновенных (в математическом смысле слова) дифференциальных уравнений, рисует мультфильм «Кошечка», содержащий даже по современным меркам удивительную анимацию движений кошки, созданную компьютером.

Арифметика Магницкого

В 1703 году Пётр I организовывает издание первого отечественного учебника по математике. Появляется «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого. А во времена Северной войны царь лично редактирует учебник по геометрии…

Вычислительная техника 1950-х

Машина, мгновенно производящая четыре арифметических действия… Табулятор, который сам печатает результаты вычислений…

Устойчивость перевёрнутого маятника (запись рассказа В. И. Арнольда)

Может ли перевёрнутый вверх ногами маятник быть устойчивым? Оказывается, да, если точка подвеса совершает достаточно частые вертикальные колебания.

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке

© 2002—2012. Фонд «Математические этюды». Коммерческое использование запрещено.