Объ­ём ша­ра: ве­сы Ар­хи­ме­да

Ар­хи­мед До­си­фея при­вет­ству­ет! Неза­дол­го пе­ред сим я пре­про­во­дил к те­бе неко­то­рые пред­ме­ты мо­их иcсле­до­ва­ний, вме­сте с най­ден­ны­ми мною до­ка­за­тель­ства­ми […] Ныне я кон­чил и дру­гие неко­то­рые мне на мысль при­шед­шие тео­ре­мы, из ко­их до­сто­при­ме­ча­тель­ней­шие суть сии: […] Ци­линдр, име­ю­щий ос­но­ва­ни­ем наи­боль­ший круг ша­ра, а вы­со­ту, рав­ную по­пе­реч­ни­ку оно­го, есть по­лу­тор­ный ша­ра; и его по­верх­ность есть по­лу­тор­ная же по­верх­но­сти ша­ра. Свой­ства сии без со­мне­ния су­ще­ство­ва­ли в ска­зан­ных фигу­рах, но до­се­ле не бы­ли ещё за­ме­че­ны ни­кем из за­ни­мав­ших­ся Гео­мет­ри­ей…

Ар­хи­мед. О ша­ре и ци­лин­дре.

На­хож­де­ние со­от­но­ше­ния меж­ду объ­ё­ма­ми ша­ра и опи­сан­но­го око­ло него ци­лин­дра Ар­хи­мед (Ар­хи­мед Си­ра­куз­ский, др.-греч. Ἀρχιμήδης, лат. Archimedes, 287 до н. э. — 212 до н. э.) счи­тал сво­им глав­ней­шим ма­те­ма­ти­че­ским от­кры­ти­ем. Не слу­чай­но на над­гро­бии Ар­хи­ме­да бы­ли изоб­ра­же­ны шар и ци­линдр.

Ко­гда я был кве­сто­ром, я отыс­кал в Си­ра­ку­зах его <Ар­хи­ме­да> мо­ги­лу, со всех сто­рон за­рос­шую тер­нов­ни­ком, слов­но из­го­ро­дью, по­то­му что си­ра­ку­зяне со­всем за­бы­ли о ней, слов­но ее и нет. Я знал несколь­ко стиш­ков, со­чи­нен­ных для его над­гроб­но­го па­мят­ни­ка, где упо­ми­на­ет­ся, что на вер­шине его по­став­ле­ны шар и ци­линдр. И вот, осмат­ри­вая мест­ность близ Ак­ра­гант­ских во­рот, где очень мно­го гроб­ниц и мо­гил, я при­ме­тил ма­лень­кую ко­лон­ну, чуть–чуть воз­вы­шав­шу­ю­ся из за­ро­с­лей, на ко­то­рой бы­ли очер­та­ния ша­ра и ци­лин­дра. Тот­час я ска­зал си­ра­ку­зя­нам — со мной бы­ли пер­вей­шие граж­дане го­ро­да, — что это­го–то, ви­ди­мо, я и ищу. Они по­сла­ли ко­са­рей и рас­чи­сти­ли ме­сто. Ко­гда до­ступ к нему от­крыл­ся, мы по­до­шли к ос­но­ва­нию па­мят­ни­ка. Там бы­ла и над­пись, но кон­цы её стро­чек стёр­лись от вре­ме­ни по­чти на­по­ло­ви­ну. Вот до ка­кой сте­пе­ни слав­ней­ший, а неко­гда и учё­ней­ший гре­че­ский го­род по­за­был па­мят­ник ум­ней­ше­му из сво­их граж­дан: по­на­до­бил­ся че­ло­век из Ар­пи­на, чтобы на­пом­нить о нём.

Ци­це­рон. Туску­лан­ские бе­се­ды.

Рас­смот­рим ры­чаж­ные ве­сы. Пред­ста­вим, что с од­ной сто­ро­ны ве­сов рас­по­ло­жен ци­линдр, вы­со­той рав­ной ра­ди­у­су ос­но­ва­ния, а с дру­гой сто­ро­ны, на том же рас­сто­я­нии от под­ве­са что и ци­линдр, — ко­нус и по­ло­ви­на ша­ра. При­чём та­кие, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са и вы­со­та рав­ны ра­ди­у­су ци­лин­дра, ра­ди­ус ша­ра ра­вен ра­ди­у­су ци­лин­дра.

Нач­нём по­слой­но на­би­рать эти фигу­ры так, чтобы вы­со­ты сло­ёв каж­дой из трёх фигур бы­ли оди­на­ко­вы. Ока­зы­ва­ет­ся, при ука­зан­ных со­от­но­ше­ни­ях ры­чаж­ные ве­сы все­гда бу­дут при­хо­дить в рав­но­ве­сие. Ко­гда фигу­ры бу­дут пол­но­стью со­бра­ны, ве­сы бу­дут на­хо­дить­ся в рав­но­ве­сии. Зна­чит, объ­ём ци­лин­дра ра­вен сум­ме объ­ё­мов ко­ну­са и по­ло­ви­ны ша­ра, ес­ли ра­ди­у­сы и вы­со­ты всех трёх фигур сов­па­да­ют.

Уди­ви­тель­но: с од­ной сто­ро­ны ве­сов про­стая фигу­ра — пря­мой кру­го­вой ци­линдр, с дру­гой сто­ро­ны од­на из фигур то­же от­но­си­тель­но про­стая — пря­мой кру­го­вой ко­нус, а урав­но­ве­ши­ва­ю­щая ве­сы фигу­ра — шар.

Де­ло в том, что ес­ли про­ве­сти плос­кость, па­рал­лель­ную ос­но­ва­ни­ям фигур, то пло­щадь кру­га, по­лу­ча­ю­ще­го­ся в се­че­нии ци­лин­дра рав­на сум­ме пло­ща­дей кру­гов, по­лу­ча­ю­щих­ся в се­че­нии рас­смат­ри­ва­е­мых ко­ну­са и ша­ра. Неслож­но (в на­ше вре­мя!) пря­мым вы­чис­ле­ни­ем про­ве­рить, что ра­вен­ство пло­ща­дей бу­дет вы­пол­нять­ся для лю­бо­го по­ло­же­ния се­ку­щей плос­ко­сти.

Из ука­зан­но­го ра­вен­ства пло­ща­дей, как сей­час го­во­рят, по прин­ци­пу Ка­ва­лье­ри (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius, 1598—1647), сле­ду­ет ра­вен­ство объ­ё­мов.

От­но­ше­ние объ­ё­мов ци­лин­дра и ко­ну­са бы­ло из­вест­но до Ар­хи­ме­да:

Та­ким об­ра­зом и Ев­докс <Ев­докс Книд­ский, др.-греч. Εὔδοξος, лат. Eudoxus, ок. 408 до н. э. — ок. 355 до н. э.> соб­ствен­ным рас­суж­де­ни­ем от­крыл мно­гое о те­лах, на­при­мер: что вся­кая пи­ра­ми­да есть треть приз­мы, име­ю­щей с пи­ра­ми­дой то же ос­но­ва­ние и ту же вы­со­ту; что вся­кий ко­нус есть треть ци­лин­дра, име­ю­ще­го с ко­ну­сом то же ос­но­ва­ние и ту же вы­со­ту.

Ар­хи­мед. О ша­ре и ци­лин­дре.

Рав­но­ве­сие ве­сов да­ёт воз­мож­ность вы­ра­зить объ­ём по­ло­ви­ны ша­ра через объ­ём ци­лин­дра. Вы­чи­тая из объ­ё­ма ци­лин­дра треть — объ­ём ко­ну­са с те­ми же ос­но­ва­ни­ем и вы­со­той, что и у ци­лин­дра, — по­лу­ча­ем, что объ­ём по­ло­ви­ны ша­ра ра­вен $2/3$ от объ­ё­ма ци­лин­дра.

Тем са­мым, уста­нов­ле­но со­от­но­ше­ние, опи­сан­ное у Ар­хи­ме­да: объ­ём ша­ра, ра­вен $2/3$ объ­ё­ма опи­сан­но­го око­ло ша­ра ци­лин­дра. Ин­те­рес­но, что, как за­ме­тил Ар­хи­мед, в том же от­но­ше­нии на­хо­дят­ся и пло­ща­ди их по­верх­но­стей.

Из со­от­но­ше­ния Ар­хи­ме­да мож­но вы­ве­сти яв­ную фор­му­лу для объ­ё­ма ша­ра. В слу­чае ци­лин­дра, опи­сан­но­го во­круг ша­ра ра­ди­у­са $R$, пло­щадь его ос­но­ва­ния рав­на $\pi R^2$, а вы­со­та рав­на $2R$. Зна­чит объ­ём ци­лин­дра ра­вен: $(\pi R^2)\cdot (2 R)=2 \pi R^3$. Умно­жив на ко­эф­фи­ци­ент $2/3$, по­лу­чим фор­му­лу для объ­ё­ма ша­ра: $4/3 \cdot \pi R^3$.

Впро­чем, остав­ляя всё сие на ува­же­ние лю­дей, мо­гу­щих су­дить о та­ко­вых ве­щах, я с мо­ей сто­ро­ны же­лал бы вы­дать в свет сие со­чи­не­ние при жиз­ни ещё Ко­но­на <Ко­нон Са­мос­ский, др.-греч. Κόνων, лат. Conon, ок. 280 до н.э. — ок. 220 до н. э.>, ко­то­рый весь­ма мог вник­нуть в оное, и на­зна­чить все­му на­сто­я­щую це­ну. Как бы то ни бы­ло, по­ла­гая что и дру­гим за­ни­ма­ю­щим­ся ма­те­ма­ти­че­ски­ми на­у­ка­ми не бес­по­лез­но бу­дет знать мои тео­ре­мы, я по­сы­лаю оные к те­бе с над­ле­жа­щи­ми до­ка­за­тель­ства­ми, дабы зна­ю­щие сей пред­мет, рас­смот­ре­ли оные.

Ар­хи­мед. О ша­ре и ци­лин­дре.

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке