Гео­мет­рия по­во­ро­та

Видео

00:00|00:00

Картинки

Па­рал­лель­ны ли друг дру­гу пе­ред­ние ко­лё­са ав­то­мо­би­ля при по­во­ро­те?

Ока­зы­ва­ет­ся, что имен­но гео­мет­рия и ме­ха­ни­ка опре­де­ля­ют то, как на­до по­во­ра­чи­вать ко­лё­са ав­то­мо­би­ля.

Ес­ли про­дол­же­ние оси ко­лёс на­прав­ле­но в центр по­во­ро­та, то ко­ле­со остав­ля­ет чёт­кий след. Чёт­кая кар­тин­ка бу­дет, и ес­ли несколь­ко осей на­прав­ле­ны в центр по­во­ро­та. Од­на­ко, ес­ли про­дол­же­ние оси ко­ле­са на­прав­ле­но не в центр по­во­ро­та, то ко­ле­со ка­тит­ся с про­скаль­зы­ва­ни­ем. След бу­дет стёр­тым, а са­мое глав­ное, управ­ля­е­мость транс­пор­та с та­ким ко­ле­сом бу­дет тем ху­же, чем вы­ше ско­рость. Итак, для хо­ро­шей управ­ля­е­мо­сти про­дол­же­ния осей ко­лес долж­ны быть на­прав­ле­ны в центр по­во­ро­та. Что же это зна­чит для че­ты­рёх­ко­лёс­но­го ав­то­мо­би­ля?

На­учим­ся для на­ча­ла про­хо­дить про­стой по­во­рот — ду­гу окруж­но­сти.

Так как зад­ние ко­лё­са в боль­шин­стве ма­шин не по­во­ра­чи­ва­ют­ся, то центр  окруж­но­сти по­во­ро­та дол­жен ле­жать на про­дол­же­нии оси этих ко­лёс. Пе­ред­ние ко­лё­са необ­хо­ди­мо по­вер­нуть так, чтобы про­дол­же­ние оси каж­до­го ко­ле­са смот­ре­ло в этот же центр. А зна­чит, для хо­ро­шей управ­ля­е­мо­сти пе­ред­ние ко­лё­са необ­хо­ди­мо по­во­ра­чи­вать на раз­ные уг­лы, и они бу­дут непа­рал­лель­ны!

Вы ска­же­те, что по­во­ро­ты не все­гда яв­ля­ют­ся ду­гой ка­кой-ли­бо окруж­но­сти, и уж тем бо­лее ма­ши­на не оста­нав­ли­ва­ет­ся для то­го, чтобы по­вер­нуть ко­лё­са. Это, ко­неч­но, прав­да, но ока­зы­ва­ет­ся, что при лю­бом по­во­ро­те в каж­дый мо­мент вре­ме­ни мож­но счи­тать, что ма­ши­на едет по ду­ге неко­то­рой окруж­но­сти (ра­ди­ус и центр ко­то­рой за­ви­сят от мо­мен­та вре­ме­ни).

Рас­смот­рим про­из­воль­ную до­ро­гу. Чтобы по ней мож­но бы­ло ез­дить, у неё не долж­но быть ост­рых уг­лов, т.е. сред­няя ли­ния бу­дет, как го­во­рят в ма­те­ма­ти­ке, глад­кой кри­вой.

За­фик­си­ру­ем си­нюю точ­ку на сред­ней ли­нии и по­ду­ма­ем, ка­ким бо­лее про­стым гео­мет­ри­че­ским объ­ек­том мож­но за­ме­нить кри­вую в неболь­шой окрест­но­сти на­шей точ­ки.

Возь­мём про­из­воль­ную крас­ную точ­ку неда­ле­ко от си­ней. Две точ­ки на плос­ко­сти опре­де­ля­ют един­ствен­ную пря­мую, ко­то­рую и про­ве­дём. Бу­дем дви­гать крас­ную точ­ку по кри­вой к си­ней. В мо­мент, ко­гда они сов­па­дут, пря­мая, ими опре­де­ля­е­мая, бу­дет ка­са­тель­ной пря­мой. Она да­ёт ли­ней­ное при­бли­же­ние кри­вой до­ро­ги в неболь­шой окрест­но­сти за­фик­си­ро­ван­ной точ­ки. Од­на­ко при уве­ли­че­нии вид­но, что до­ро­га и ка­са­тель­ная пря­мая ря­дом идут на очень ма­лень­ком участ­ке.

Спра­ва и сле­ва от си­ней точ­ки возь­мём по крас­ной. Три точ­ки, не ле­жа­щие на од­ной пря­мой, опре­де­ля­ют един­ствен­ную окруж­ность, ко­то­рую и про­ве­дём. Бу­дем дви­гать крас­ные точ­ки к си­ней. В мо­мент, ко­гда они сов­па­дут, по­лу­чим окруж­ность, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся со­при­ка­са­ю­щей­ся. Это при­бли­же­ние уже вто­ро­го по­ряд­ка, и на уве­ли­че­нии вид­но, на­сколь­ко оно луч­ше. За­ме­тим, что на мо­но­тон­ном участ­ке (воз­рас­та­ния или убы­ва­ния кри­вой) со­при­ка­са­ю­ща­я­ся окруж­ность все­гда пе­ре­се­ка­ет кри­вую, в от­ли­чие от ка­са­тель­ной, рас­по­ло­жен­ной на та­ких участ­ках по од­ну сто­ро­ну от кри­вой.

Так как со­при­ка­са­ю­ща­я­ся окруж­ность для на­шей за­да­чи хо­ро­шо при­бли­жа­ет до­ро­гу и мо­жет быть по­стро­е­на в лю­бой её точ­ке, то дви­же­ние по из­ги­бам до­ро­ги мож­но рас­смат­ри­вать в каж­дый мо­мент вре­ме­ни как дви­же­ние по ду­ге неко­то­рой окруж­но­сти. Мгно­вен­ные ра­ди­ус и центр этой окруж­но­сти за­ви­сят, ко­неч­но, от той точ­ки, в ко­то­рой на­хо­дит­ся ма­ши­на.

Та­ким об­ра­зом, при дви­же­нии в про­из­воль­ном по­во­ро­те мож­но счи­тать, что в каж­дый мо­мент вре­ме­ни ма­ши­на дви­жет­ся по неболь­шой ду­ге неко­то­рой окруж­но­сти. И наш пер­вый слу­чай — по­во­рот ма­ши­ны по ду­ге окруж­но­сти — ос­нов­ной, ко­то­рый и нуж­но изу­чать.  

Но как до­стичь то­го, чтобы при лю­бом по­во­ро­те ко­лёс про­дол­же­ние осей смот­ре­ло в мгно­вен­ный центр по­во­ро­та?

Ока­зы­ва­ет­ся, и здесь на по­мощь при­хо­дит гео­мет­рия, а имен­но из­вест­ная со шко­лы рав­но­бо­кая тра­пе­ция — че­ты­рёх­уголь­ник, у ко­то­ро­го две сто­ро­ны, на­зы­ва­е­мые ос­но­ва­ни­я­ми, па­рал­лель­ны меж­ду со­бой, а бо­ко­вые сто­ро­ны рав­ны друг дру­гу. Ес­ли пра­виль­но по­до­брать раз­ме­ры сто­рон тра­пе­ции, то до­сти­га­ет­ся небо­хо­ди­мое для хо­ро­ше­го управ­ле­ния усло­вие — про­дол­же­ние осей пе­ред­них ко­лёс пе­ре­се­ка­ет­ся в точ­ке, ле­жа­щей на про­дол­же­нии оси зад­них ко­лёс. Эта точ­ка и есть мгно­вен­ный центр по­во­ро­та ма­ши­ны.

При­ду­мал та­кое управ­ле­ние пе­ред­ни­ми ко­лё­са­ми фран­цуз, ка­рет­ных дел ма­стер Шарль Жан­то (Charles Jeantand). Од­на­ко для ка­рет, пе­ре­дви­гав­ших­ся с ма­лы­ми ско­ро­стя­ми, это бы­ло не так су­ще­ствен­но, как для ма­шин, и изоб­ре­те­ние Жан­то бы­ло за­бы­то. Лишь по­чти через три чет­вер­ти ве­ка два от­ца ав­то­мо­би­ле­стро­е­ния, два нем­ца, два ин­же­не­ра — Готт­либ Дайм­лер (Gottlieb Wilhelm Daimler) и Карл Бенц (Karl Friedrich Michael Benz) — изоб­ре­тая свои ав­то­мо­би­ли, воз­вра­ща­ют­ся к тра­пе­ции Жан­то. В 1889 го­ду Дайм­лер по­лу­ча­ет па­тент на «спо­соб неза­ви­си­мо­го управ­ле­ния пе­ред­ни­ми ко­лё­са­ми с раз­но­ве­ли­ки­ми ра­ди­у­са­ми по­во­ро­та». А в 1893 го­ду Бенц по­лу­ча­ет па­тент на «устрой­ство управ­ле­ния эки­па­жей с тан­ген­ци­аль­ны­ми к ко­лё­сам окруж­но­стя­ми управ­ле­ния». Ре­шив за­да­чу управ­ле­ния пе­ред­ни­ми по­во­рот­ны­ми ко­лё­са­ми и дру­гие важ­ные тех­ни­че­ские во­про­сы, Карл Бенц стро­ит свой пер­вый зна­ме­ни­тый че­ты­рёх­ко­лёс­ный ав­то­мо­биль «Вик­то­рия».

С точ­ки зре­ния стро­гой ма­те­ма­ти­ки, тра­пе­ция не поз­во­ля­ет до­стичь необ­хо­ди­мо­го усло­вия — чтобы про­дол­же­ние осей пе­ред­них ко­лес при лю­бом по­во­ро­те пе­ре­се­ка­лось в точ­ке, ле­жа­щей на про­дол­же­нии зад­ней оси. При ис­поль­зо­ва­нии тра­пе­ции эта точ­ка бу­дет все­гда ле­жать чуть-чуть в сто­роне от ли­нии зад­ней оси. За­чем же мы столь­ко об­суж­да­ли тра­пе­цию, ска­же­те вы? Рас­стра­и­вать­ся ра­но — про­сто не на­до без­дум­но пе­ре­но­сить ма­те­ма­ти­че­скую стро­гость в тех­ни­че­ские во­про­сы. Чтобы точ­ка пе­ре­се­че­ния ли­ний пе­ред­них осей все­гда ле­жа­ла на ли­нии зад­ней оси, необ­хо­ди­мо, чтобы дли­на мень­ше­го ос­но­ва­ния тра­пе­ции немно­го ме­ня­лась. При об­щей длине это­го ос­но­ва­ния бо­лее мет­ра необ­хо­ди­мые из­ме­не­ния дли­ны со­став­ля­ют все­го око­ло од­но­го сан­ти­мет­ра, а это мень­ше чем люф­ты в со­еди­не­ни­ях и раз­ре­шён­ные до­пус­ки при из­го­тов­ле­нии.

Со вре­мён изоб­ре­те­ния пер­вых ав­то­мо­би­лей ско­ро­сти пе­ре­дви­же­ния силь­но воз­рос­ли. Уве­ли­чи­лись и тре­бо­ва­ния к управ­ле­нию пе­ред­ни­ми ко­лё­са­ми. Кро­ме то­го, тра­пе­ция — это плос­кая гео­мет­ри­че­ская фигу­ра. И та­кой спо­соб управ­ле­ния пе­ред­ни­ми ко­лё­са­ми мо­жет ис­поль­зо­вать­ся толь­ко при за­ви­си­мой пе­ред­ней под­вес­ке — ко­гда ко­лё­са жёст­ко свя­за­ны друг с дру­гом и пря­мая, со­еди­ня­ю­щая их цен­тры, все­гда па­рал­лель­на плос­ко­сти тра­пе­ции. Сей­час та­кое мож­но встре­тить на гру­зо­вых ав­то­мо­би­лях. На совре­мен­ных лег­ко­вых ав­то­мо­би­лях под­вес­ка ко­лёс неза­ви­си­ма, т.е. они мо­гут хо­дить по вы­со­те друг от­но­си­тель­но дру­га. Для управ­ле­ния в по­во­ро­те та­ки­ми ко­лё­са­ми при­ме­ня­ют­ся бо­лее слож­ные, уже неплос­кие шар­нир­ные ме­ха­низ­мы, ча­ще все­го с цен­траль­ным зве­ном в ви­де руле­вой рей­ки. Но их рас­чёт — это то­же за­да­ча ма­те­ма­ти­ков и ме­ха­ни­ков. А ис­то­ри­че­ски они так по-преж­не­му и на­зы­ва­ют­ся — руле­вой тра­пе­ци­ей.

При по­во­ро­те ав­то­мо­би­ля воз­ни­ка­ет ещё один во­прос, свя­зан­ный с гео­мет­ри­ей. Дли­на окруж­но­сти ра­ди­у­са R рав­на, как вы помни­те, 2πR. Со­от­вет­ствен­но, дли­на ду­ги, опи­ра­ю­щей­ся на угол α окруж­но­сти ра­ди­у­са R, рав­на αR. При по­во­ро­те ав­то­мо­би­ля по ду­ге окруж­но­сти внеш­нее пе­ред­нее ко­ле­со едет по ду­ге окруж­но­сти боль­ше­го ра­ди­у­са, чем внут­рен­нее пе­ред­нее. Точ­но так же и зад­нее внеш­нее ко­ле­со опи­сы­ва­ет ду­гу боль­ше­го ра­ди­у­са, чем внут­рен­нее зад­нее. А раз ра­ди­у­сы раз­ли­ча­ют­ся, то, зна­чит, пу­ти, про­хо­ди­мые внут­рен­ним и внеш­ним ко­лё­са­ми од­ной оси, долж­ны быть то­же раз­лич­ны. В про­тив­ном слу­чае ко­ле­со бу­дет про­скаль­зы­вать, и управ­ля­е­мость ав­то­мо­би­ля сни­зит­ся.

В слу­чае, ко­гда ось неве­ду­щая, т.е. её ко­лё­са не тол­ка­ют ав­то­мо­биль впе­рёд, всё про­сто: каж­дое ко­ле­со вер­тит­ся со сво­ей ско­ро­стью, необ­хо­ди­мой для про­хож­де­ния нуж­но­го пу­ти без про­скаль­зы­ва­ния.

А как же сде­лать так, чтобы ко­лё­са ве­ду­щей оси, в на­шем слу­чае зад­ней, с од­ной сто­ро­ны, по­сто­ян­но тол­ка­ли ав­то­мо­биль впе­рёд, а с дру­гой сто­ро­ны, мог­ли вра­щать­ся с раз­ны­ми ско­ро­стя­ми?

По­мо­га­ет в этом диф­фе­рен­ци­ал — пред­ста­ви­тель пла­не­тар­ных ме­ха­низ­мов. Пла­не­тар­ным на­зы­ва­ет­ся ме­ха­низм, у ко­то­ро­го есть са­тел­ли­ты — ше­стер­ни, кру­тя­щи­е­ся во­круг по­движ­ных осей.

Вал от мо­то­ра, прой­дя через ко­роб­ку пе­ре­дач, от­да­ёт вра­ще­ние на «боч­ку». Боч­ка же через са­тел­ли­ты пе­ре­да­ёт вра­ще­ние на ле­вую и пра­вую по­лу­оси ве­ду­щей оси. Как бы ни вра­ща­лись ко­лё­са, ско­рость боч­ки все­гда в два ра­за мед­лен­нее вра­ще­ния ва­ла, а сум­ма ско­ро­стей по­лу­осей рав­на удво­ен­ной ско­ро­сти ва­ла.

Ес­ли ма­ши­на едет по пря­мой и под обо­и­ми ве­ду­щи­ми ко­лё­са­ми оди­на­ко­вое по­кры­тие — с оди­на­ко­вым ко­эф­фи­ци­ен­том тре­ния, то ко­лё­са за­би­ра­ют от боч­ки оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство вра­ще­ния, и по­лу­оси вра­ща­ют­ся (ко­лё­са и их по­лу­оси) с оди­на­ко­вой ско­ро­стью.

Но ес­ли ко­эф­фи­ци­ен­ты тре­ния раз­ли­ча­ют­ся, на­при­мер, од­на сто­ро­на ма­ши­ны вы­ез­жа­ет с ас­фаль­та на грун­то­вую обо­чи­ну или по­па­да­ет на лёд, то... Как же бу­дут се­бя ве­сти ко­лё­са при про­хож­де­нии это­го участ­ка? У ко­лёс неве­ду­щей оси всё про­сто: они неза­ви­си­мы друг от дру­га, им не на­до тол­кать ма­ши­ну, и ко­гда од­но из них вы­ка­ты­ва­ет­ся на лёд, то пе­ре­ста­ёт кру­тить­ся, так как тре­ние с до­ро­гой очень ма­лень­кое.

Вот и под ле­вое ко­ле­со ве­ду­щей оси по­па­да­ет лёд. Спра­ва тре­ние с ас­фаль­том боль­шое, а сле­ва — со льдом — по­чти от­сут­ству­ет. Со­от­вет­ствен­но, ле­во­му ко­ле­су вра­щать­ся го­раз­до про­ще, и оно на­чи­на­ет за­би­рать на се­бя всё вра­ще­ние, от­да­ва­е­мое боч­кой на обе по­лу­оси. При этом сум­ма ско­ро­стей по­лу­осей, как бы­ло от­ме­че­но вы­ше, все­гда по­сто­ян­на, но од­на по­лу­ось не кру­тит­ся, а вто­рая — вра­ща­ет­ся очень быст­ро. На­чать дви­же­ние из та­ко­го по­ло­же­ния, ко­гда од­но ко­ле­со ве­ду­щей оси по­те­ря­ло связь с до­ро­гой (на­при­мер, на­хо­дит­ся на льду), а дру­гое нет — невоз­мож­но.

Ка­за­лось бы, од­ни неудоб­ства от это­го диф­фе­рен­ци­а­ла, за­чем он то­гда ну­жен? Как раз для ре­ше­ния за­да­чи од­новре­мен­но­го тол­ка­ния ве­ду­щей осью ма­ши­ны впе­рёд и про­хож­де­ния в по­во­ро­тах ве­ду­щи­ми ко­ле­са­ми пу­тей раз­ной дли­ны. Каж­дое ко­ле­со бе­рёт от диф­фе­рен­ци­а­ла ко­ли­че­ство дви­же­ния про­пор­цио­наль­но длине его пу­ти, а в сум­ме всю энер­гию ва­ла они за­тра­чи­ва­ют на дви­же­ние ма­ши­ны впе­рёд.

Ин­же­не­ры по­сто­ян­но пы­та­ют­ся улуч­шить диф­фе­рен­ци­ал, со­хра­нив его ос­нов­ное свой­ство, пы­та­ют­ся умень­шить непри­ят­ные эф­фек­ты — ка­ким-ли­бо спо­со­бом не да­вать кру­тить­ся по­лу­осям со слиш­ком боль­шой раз­ни­цей ско­ро­стей. Но по су­ти, всё и се­го­дня оста­ёт­ся та­ким же, ибо за­ко­ны гео­мет­рии ни­кто не от­ме­нял.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие этюды раздела «Математика и техника»3

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке