Объ­ём ша­ра

Ес­ли «про­жи­гать» CD– или DVD–диск на ком­пью­те­ре, то за­пи­сан­ная часть «бол­ван­ки» вы­гля­дит бо­лее тем­ной, чем неис­поль­зо­ван­ная.

Че­го боль­ше на дис­ке, изоб­ра­жен­ном на кар­тин­ке, — за­пи­сан­ной ин­фор­ма­ции или сво­бод­но­го ме­ста?

С точ­ки зре­ния ма­те­ма­ти­ки, и CD-, и DVD–диск — это коль­цо. Ра­ди­ус внут­рен­ней окруж­но­сти, огра­ни­чи­ва­ю­щей круг, на ко­то­рый ни­че­го не пи­шет­ся, ра­вен 2 сан­ти­мет­рам, а ра­ди­ус все­го стан­дарт­но­го дис­ка — 6 сан­ти­мет­рам. Ин­фор­ма­ция за­пи­сы­ва­ет­ся по спи­раль­ной до­рож­ке, раз­ма­ты­ва­ю­щей­ся от мень­шей окруж­но­сти к боль­шей. Так как оди­на­ко­во­му ко­ли­че­ству ин­фор­ма­ции со­от­вет­ству­ет оди­на­ко­вая дли­на до­рож­ки, то объ­ём ин­фор­ма­ции, за­пи­сан­ной на «бол­ван­ку», про­пор­цио­на­лен пло­ща­ди за­ня­то­го коль­ца.

Нач­нём «про­жи­гать» диск так же, как это де­ла­ет ком­пью­тер. Ес­ли ши­ри­на за­пи­сан­но­го коль­ца бу­дет рав­на ши­рине неза­пи­сан­но­го и со­став­лять по 2 сан­ти­мет­ра, то вид­но, на­сколь­ко пло­щадь ис­поль­зо­ван­ной ча­сти мень­ше сво­бод­ной. При этом, да­же ес­ли к пло­ща­ди за­пи­сан­но­го коль­ца до­ба­вить пло­щадь все­го внут­рен­не­го кру­га, на ко­то­рый ни­че­го не пи­шет­ся, то их сум­мар­ная пло­щадь всё рав­но бу­дет мень­ше пло­ща­ди неза­пи­сан­ной ча­сти «бол­ван­ки».

Для то­го чтобы бы­ла за­ня­та ров­но по­ло­ви­на «бол­ван­ки», внут­рен­нее коль­цо долж­но иметь ши­ри­ну, при­бли­зи­тель­но рав­ную 2,5 см, а внеш­нее коль­цо — око­ло 1,5 см.

От­че­го же воз­ни­ка­ет та­кой эф­фект?

На плос­ко­сти ша­ром яв­ля­ет­ся круг и, со­от­вет­ствен­но, объ­ём есть пло­щадь это­го кру­га. Как вы все хо­ро­шо зна­е­те, пло­щадь кру­га ра­ди­у­са $R$ рав­на $\pi R^2$. Чтобы по­счи­тать пло­щадь коль­ца, нуж­но из пло­ща­ди боль­шо­го кру­га вы­честь пло­щадь неис­поль­зу­е­мо­го ма­лень­ко­го — $\pi\cdot(R^2-r^2)$. И так как всё за­ви­сит от ра­ди­у­са, да ещё в квад­ра­те, то, чем бли­же к боль­ше­му ра­ди­у­су опи­са­но коль­цо, тем боль­ше, при той же ши­рине, его вклад в пло­щадь.

В на­шем трёх­мер­ном про­стран­стве объ­ём ша­ра за­ви­сит от ра­ди­у­са, воз­ве­дён­но­го в тре­тью сте­пень. А зна­чит, и рас­смат­ри­ва­е­мый эф­фект ста­но­вит­ся ещё бо­лее вы­ра­жен­ным: бóльшая часть объ­ё­ма ша­ра со­сре­до­то­че­на ря­дом с гра­ни­цей!

Че­го боль­ше по объ­ё­му в этом апель­сине — ко­жу­ры или мя­ко­ти? Ко­жу­ра за­ни­ма­ет, ка­за­лось бы, не очень тол­стый слой, но он рас­по­ло­жен ря­дом с гра­ни­цей ша­ра. И его объ­ём на при­ве­дён­ном ри­сун­ке ра­вен объ­ё­му всей вкус­ной ча­сти апель­си­на. По­ку­пая апель­син с тол­стой ко­жу­рой, по объ­ё­му вы при­об­ре­та­е­те в ос­нов­ном ко­жу­ру.

Обсуждение (сообщений: 3)

Другие этюды раздела «Площади и объёмы»5

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке