Пло­ща­ди фигур

Пло­щадь квад­ра­та рав­на квад­ра­ту дли­ны его сто­ро­ны. Лег­ко по­счи­тать пло­щадь фигу­ры, раз­би­ва­ю­щей­ся на несколь­ко квад­ра­тов. А че­му рав­на пло­щадь фигу­ры, огра­ни­чен­ной про­из­воль­ной кри­вой?

На­ло­жим на изу­ча­е­мую фигу­ру квад­рат­ную сет­ку.

По­кра­сим в жёл­тый цвет квад­ра­ты, ко­то­рые хо­тя бы ча­стич­но пе­ре­се­ка­ют­ся с фигу­рой. Чтобы зри­тель­но уви­деть и под­счи­тать пло­щадь, за­ни­ма­е­мую жёл­ты­ми квад­ра­та­ми, сло­жим из них пря­мо­уголь­ник. Оче­вид­но, что ве­ли­чи­на, ко­то­рую мы хо­тим на­звать пло­ща­дью изу­ча­е­мой фигу­ры, мень­ше пло­ща­ди это­го жёл­то­го пря­мо­уголь­ни­ка.

В си­ний цвет по­кра­сим те квад­ра­ты, ко­то­рые пол­но­стью ле­жат внут­ри на­шей фигу­ры. Та­ких квад­ра­тов на­бра­лось, ко­неч­но, мень­ше, чем жёл­тых.  Вы­ло­жим и из них пря­мо­уголь­ник. Пло­щадь на­шей фигу­ры боль­ше пло­ща­ди это­го си­не­го пря­мо­уголь­ни­ка.

Итак, то, что мы хо­тим на­звать пло­ща­дью изу­ча­е­мой фигу­ры, боль­ше пло­ща­ди си­не­го пря­мо­уголь­ни­ка и мень­ше пло­ща­ди жёл­то­го. Но пло­ща­ди этих двух пря­мо­уголь­ни­ков силь­но раз­ли­ча­ют­ся, и по­ка мы пло­хо пред­став­ля­ем, ка­ко­ва же ис­ко­мая пло­щадь.

Для то­го чтобы по­лу­чить бо­лее точ­ные ниж­нюю и верх­нюю гра­ни­цы ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, рас­смот­рим се­точ­ку из бо­лее ма­лень­ких квад­ра­тов. По­вто­рим преды­ду­щие дей­ствия. В жёл­тый по­кра­сим те квад­ра­ты, ко­то­рые хо­тя бы ча­стью пе­ре­се­ка­ют­ся с фигу­рой. В си­ний — те, ко­то­рые пол­но­стью ле­жат внут­ри фигу­ры. Сно­ва пло­щадь фигу­ры боль­ше пло­ща­ди си­не­го пря­мо­уголь­ни­ка и мень­ше пло­ща­ди жёл­то­го. Но в этот раз, взяв бо­лее мел­кую сет­ку, мы по­лу­чи­ли бо­лее точ­ные гра­ни­цы.

Рас­смат­ри­вая ещё бо­лее мел­кую сет­ку, мы по­лу­чим еще бо­лее точ­ные верх­нюю и ниж­нюю гра­ни­цы пло­ща­ди изу­ча­е­мой фигу­ры.

Бу­дем про­дол­жать умень­шать ячей­ки сет­ки, де­лая их всё мель­че и мель­че так, чтобы сто­ро­на квад­ра­ти­ков, из ко­то­рых она со­став­ле­на, стре­ми­лась к ну­лю. Аб­стра­ги­ро­вав­шись от ре­аль­но­сти, в ма­те­ма­ти­че­ской мо­де­ли счи­та­ет­ся, что де­лать квад­ра­ти­ки мож­но сколь угод­но ма­лень­ко­го раз­ме­ра. То­гда, как го­во­рят, в пре­де­ле, жёл­тый и си­ний мно­го­уголь­ни­ки ока­жут­ся рав­ны­ми. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ник, со­став­лен­ный из по­ло­ви­нок си­не­го и жел­то­го пря­мо­уголь­ни­ков (мож­но бы­ло рас­смот­реть и лю­бой из них).

Пло­ща­дью изу­ча­е­мой фигу­ры по опре­де­ле­нию на­зы­ва­ет­ся пло­щадь дву­цвет­но­го пря­мо­уголь­ни­ка.

В жиз­ни бы­ва­ют слу­чаи, ко­гда необ­хо­ди­мо при­бли­жён­но опре­де­лить пло­щадь фигу­ры. При этом по­счи­тан­ная пло­щадь долж­на от­ли­чать­ся от на­сто­я­щей не боль­ше чем на неко­то­рую за­дан­ную ве­ли­чи­ну. Для ре­ше­ния этой за­да­чи необ­хо­ди­мо взять сет­ку из та­ких квад­ра­ти­ков, чтобы раз­ни­ца меж­ду пло­ща­дя­ми жёл­то­го и си­не­го пря­мо­уголь­ни­ков не пре­вос­хо­ди­ла удво­ен­ной за­дан­ной ве­ли­чи­ны по­греш­но­сти. То­гда за пло­щадь изу­ча­е­мой фигу­ры нуж­но взять чис­ло, рав­ное сум­ме пло­ща­дей жёл­то­го и си­не­го пря­мо­уголь­ни­ков, по­де­лён­ной по­по­лам.

Обсуждение (сообщений: 3)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке