Цеп­ная ли­ния

...Дру­гой спо­соб на­чер­тить ис­ко­мую па­ра­бо­лу на приз­ме со­сто­ит в сле­ду­ю­щем. Во­бьём в сте­ну два гвоз­дя на оди­на­ко­вой вы­со­те над го­ри­зон­том и на та­ком рас­сто­я­нии друг от дру­га, чтобы оно рав­ня­лось двой­ной ши­рине пря­мо­уголь­ни­ка, на ко­то­ром же­ла­тель­но по­стро­ить па­ра­бо­лу; меж­ду од­ним и дру­гим гвоз­дём под­ве­сим тон­кую це­поч­ку, ко­то­рая све­ши­ва­лась бы вниз и бы­ла та­кой дли­ны, чтобы са­мая низ­кая точ­ка её на­хо­ди­лась от уров­ня гвоз­дя на рас­сто­я­нии, рав­ном длине приз­мы. Це­поч­ка эта, сви­сая, рас­по­ло­жит­ся в ви­де па­ра­бо­лы, так что, от­ме­тив её след на стене пунк­ти­ром, мы по­лу­чим пол­ную па­ра­бо­лу, рас­се­ка­е­мую по­по­лам пер­пен­ди­ку­ля­ром, про­ве­дён­ным через се­ре­ди­ну ли­нии, со­еди­ня­ю­щей оба гвоз­дя. Га­ли­лео Га­ли­лей. «Бе­се­ды и ма­те­ма­ти­че­ские до­ка­за­тель­ства…». 1638.

Од­на­ко мэтр оши­бал­ся. Меж­ду па­ра­бо­лой и ли­ни­ей про­вис­шей це­пи бу­дет неболь­шое раз­ли­чие. Лишь через пол­ве­ка Иоган­ном Бер­нул­ли, Гот­ф­ри­дом Лейб­ни­цем и Хри­сти­а­ном Гюй­ген­сом бы­ло вы­ве­де­но урав­не­ние «цеп­ной ли­нии». В нём участ­ву­ет па­ра­метр, из­ме­няя ко­то­рый мож­но по­лу­чать раз­лич­ные кри­вые про­ви­са­ния це­пи. Воз­ник­но­ве­нию са­мо­го на­зва­ния «цеп­ная ли­ния» мы обя­за­ны Гюй­ген­су.

По этой ли­нии про­виснет не толь­ко цепь, но и лю­бая дру­гая од­но­род­ная нерас­тя­жи­мая нить под дей­стви­ем си­лы тя­же­сти. Эту кри­вую вы мог­ли, на­блю­дать, на­при­мер, по­се­щая му­зей.

Пе­ре­вер­нём на­шу кар­ти­ну.

Ес­ли неко­то­рым об­ра­зом по­до­брать па­ра­метр в урав­не­нии, то центр квад­ра­та, ка­тя­ще­го­ся без про­скаль­зы­ва­ния по ду­ге цеп­ной ли­нии, бу­дет дви­гать­ся ров­но по пря­мой!

Про­сле­дим за тра­ек­то­ри­ей дви­же­ния од­ной из вер­шин квад­ра­та. Эта кри­вая ни­где не пе­ре­се­ка­ет­ся с цеп­ной ли­ни­ей, а зна­чит, по­воз­ку, ка­тя­щу­ю­ся на квад­рат­ных ко­лё­сах, мож­но сде­лать! При этом рас­сто­я­ние меж­ду ося­ми по­воз­ки не обя­за­но быть крат­ным ши­рине гор­ба цеп­ной ли­нии — ко­лё­са мо­гут на­хо­дить­ся в раз­ных фа­зах.

На квад­рат­ных ко­лё­сах ез­дить мы на­учи­лись. Ока­зы­ва­ет­ся, что мож­но ез­дить и на ко­лё­сах, име­ю­щих вид лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка. До­ро­га толь­ко долж­на быть не со­всем ров­ной — в ви­де цеп­ной ли­нии со зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра, за­ви­ся­щим от ко­ли­че­ства уг­лов. При при­бли­же­нии пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка к окруж­но­сти и со­от­вет­ству­ю­щем из­ме­не­нии па­ра­мет­ра ар­ки цеп­ной ли­нии ста­но­вят­ся всё ни­же, а го­ри­зон­таль­ная дли­на участ­ка, необ­хо­ди­мая для од­но­го обо­ро­та мно­го­уголь­ни­ка, ста­но­вит­ся всё бли­же к длине окруж­но­сти. Та­кая вот эво­лю­ция ко­ле­са, ко­то­рое, в от­ли­чие от пра­виль­ных мно­го­уголь­ни­ков, еду­щих по цеп­ной ли­нии, уме­ет по­во­ра­чи­вать.

На­тя­нем на два об­ру­ча, рас­по­ло­жен­ных в па­рал­лель­ных плос­ко­стях, мыль­ную плён­ку. Мыль­ная плён­ка — уди­ви­тель­ный объ­ект. Она лег­кая, внут­рен­ние си­лы го­раз­до силь­нее, чем си­ла тя­же­сти, и вслед­ствие это­го плён­ка все­гда при­ни­ма­ет вид по­верх­но­сти, име­ю­щей ми­ни­маль­ную пло­щадь при дан­ных гра­нич­ных усло­ви­ях.

Как рас­по­ло­жит­ся мыль­ная плён­ка, на­тя­ну­тая на об­ру­чи? Ока­зы­ва­ет­ся, это бу­дет по­верх­ность, об­ра­зо­ван­ная вра­ще­ни­ем цеп­ной ли­нии! Ес­ли из­ме­нять рас­сто­я­ние меж­ду плос­ко­стя­ми об­ру­чей, то по­верх­ность то­же бу­дет ме­нять­ся, но все­гда про­филь её бу­дет в ви­де цеп­ной ли­нии дан­ной дли­ны, под­ве­шен­ной на со­от­вет­ствен­но рас­по­ло­жен­ные стол­би­ки. До­ка­зал это в 1744 го­ду Лео­нард Эй­лер в со­чи­не­нии «Ме­тод на­хож­де­ния кри­вых ли­ний, об­ла­да­ю­щих свой­ства­ми мак­си­му­ма или ми­ни­му­ма», а са­му по­верх­ность на­звал ка­те­но­ид (лат. catena — цепь; греч. έιδος — вид).

Ли­те­ра­ту­ра

Г. Га­ли­лей. Бе­се­ды и ма­те­ма­ти­че­ские до­ка­за­тель­ства, ка­са­ю­щи­е­ся двух но­вых от­рас­лей на­у­ки, от­но­ся­щих­ся к ме­ха­ни­ке и мест­но­му дви­же­нию си­ньо­ра Га­ли­лео Га­ли­лея Лин­чео, фило­со­фа и пер­во­го ма­те­ма­ти­ка свет­лей­ше­го ве­ли­ко­го гер­цо­га тос­кан­ско­го. С при­ло­же­ни­ем о цен­трах тя­же­сти раз­лич­ных тел. М.—Л.: Го­судар­ствен­ное тех­ни­ко-тео­ре­ти­че­ское из­да­тель­ство, 1934. С. 273—274.

Обсуждение (сообщений: 4)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке