Кон­такт­ное чис­ло ша­ров и сфе­ри­че­ские ко­ды

Видео

00:00|00:00

Картинки

В наличии имеется много одинаковых монет и такая же монетка, лежащая рядомКак много одинаковых монет можно положить на стол вокруг одной такой же, так чтобы они все касались центральной?Шесть монет могут быть расположены с центрами в вершинах правильного шестиугольникаОдна монета «занимает» угол в 60°Как много одинаковых бильярдных шаров можно расположитьДвенадцать шаров могут располагаться в вершинах икосаэдраРасположение шаров настолько свободно, что их можно катать по внутреннему шаруЗнаменитая дискуссия, состоявшаяся в 1694 году между Дэвидом Грегори и Исааком НьютономКаждому шару соответствует сферическая шапка на центральном шаре и точка касанияЕсли шапки довольно большие, то при искажениях точка всегда будет попадать внутрь той шапки, где былаЖелание передавать как можно больше разной информации приводит  к задаче: расположить как можно больше сферических шапок

Сей­час, чи­тая этот текст или ска­чи­вая фильм, вы, воз­мож­но, ис­поль­зо­ва­ли ре­ше­ние за­да­чи о кон­такт­ном чис­ле ша­ров в вось­ми­мер­ном про­стран­стве. Удив­ле­ны?

В кон­це филь­ма рас­ска­зы­ва­ет­ся, ка­кое при­ме­не­ние на­хо­дит эта из­вест­ная кра­си­вая ма­те­ма­ти­че­ская за­да­ча в тех­ни­ке.

Как мно­го оди­на­ко­вых ша­ров мож­но рас­по­ло­жить во­круг од­но­го фик­си­ро­ван­но­го?

Рас­смот­рим плос­кий слу­чай. В на­ли­чии име­ет­ся мно­го оди­на­ко­вых монет и та­кая же мо­нет­ка, ле­жа­щая ря­дом. Как мно­го оди­на­ко­вых монет мож­но по­ло­жить на стол во­круг од­ной та­кой же, так чтобы они все ка­са­лись цен­траль­ной?

Шесть монет мо­гут быть рас­по­ло­же­ны с цен­тра­ми в вер­ши­нах пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка.

Но мо­жет быть мож­но рас­по­ло­жить боль­шее чис­ло монет?

Од­на мо­не­та «за­ни­ма­ет» угол в 60°. По­де­лим пол­ный угол в 360° на тот угол, мень­ше ко­то­ро­го од­на мо­не­та за­ни­мать не мо­жет, и по­лу­чим ров­но шесть. Т.е. боль­ше чем шесть монет уло­жить во­круг од­ной то­го же ра­ди­у­са нель­зя.

Это мож­но бы­ло по­ка­зать и чуть по-дру­го­му. На окруж­но­сти цен­траль­ной мо­не­ты рас­смот­реть ду­гу, ко­то­рую за­ни­ма­ет од­на мо­не­та, ка­са­ю­ща­я­ся цен­траль­ной. По­де­лить дли­ну всей окруж­но­сти на дли­ну рас­смот­рен­ной ду­ги и уви­деть, что ме­ста хва­та­ет ров­но на шесть та­ких дуг.

Най­де­но рас­по­ло­же­ние ше­сти монет и по­ка­за­но, что боль­ше ше­сти монет не мо­гут ка­сать­ся од­ной то­го же раз­ме­ра. Имен­но так ре­ша­ет­ся боль­шин­ство экс­тре­маль­ных за­дач — за­дач на на­хож­де­ние мак­си­му­ма или ми­ни­му­ма. При­во­дит­ся некая кон­струк­ция, а за­тем до­ка­зы­ва­ет­ся, что она наи­луч­шая с точ­ки зре­ния усло­вий за­да­чи.

В на­шем при­выч­ном трёх­мер­ном про­стран­стве за­да­ча ока­за­лась на­мно­го слож­нее.

Как мно­го оди­на­ко­вых би­льярд­ных ша­ров мож­но рас­по­ло­жить в про­стран­стве во­круг од­но­го фик­си­ро­ван­но­го то­го же ра­ди­у­са?

Две­на­дцать ша­ров мо­гут рас­по­ла­гать­ся в вер­ши­нах ико­са­эд­ра. При та­ком рас­по­ло­же­нии ша­ры да­же не ка­са­ют­ся друг дру­га. Рас­по­ло­же­ние ша­ров на­столь­ко сво­бод­но, что их мож­но ка­тать по внут­рен­не­му ша­ру.

Мож­но ли рас­по­ло­жить бо­лее 12 ша­ров? Этот во­прос был пред­ме­том зна­ме­ни­той дис­кус­сии, со­сто­яв­шей­ся в 1694 го­ду меж­ду шот­ланд­ским уче­ным Дэ­ви­дом Гре­го­ри и Иса­а­ком Нью­то­ном. Имен­но Иса­ак Нью­тон, изу­чая во­про­сы аст­ро­но­мии,  уста­но­вил, что 12 ша­ров мо­гут рас­по­ла­гать­ся в вер­ши­нах ико­са­эд­ра. Дэ­вид Гре­го­ри обоб­щил оцен­ку свер­ху на ко­ли­че­ство монет, рас­по­ла­га­е­мых во­круг од­ной фик­си­ро­ван­ной. Он по­счи­тал пло­щадь сфе­ри­че­ской ша­поч­ки, за­ни­ма­е­мой од­ним ша­ром, и по­де­лил пло­щадь сфе­ры цен­траль­но­го ша­ра на по­лу­чен­ную пло­щадь ша­поч­ки. Про­ве­ди­те рас­чет, и вы уди­ви­тесь, что от­вет бу­дет по­чти 15. Так как это чис­ло ока­за­лось мень­ше 15, то это до­ка­зы­ва­ло, что 15 ша­ров нель­зя рас­по­ло­жить во­круг од­но­го фик­си­ро­ван­но­го. Од­на­ко, что да­же 13 ша­ров нель­зя рас­по­ло­жить, Гре­го­ри не смог до­га­дать­ся.

Толь­ко через 200 лет по­яви­лось пер­вое до­ка­за­тель­ство то­го, что кон­такт­ное чис­ло ша­ров в трёх­мер­ном про­стран­стве рав­но 12.

За­да­ча о кон­такт­ном чис­ле ша­ров ре­ше­на ещё в 4-мер­ном, 8-мер­ном и 24-мер­ном про­стран­ствах. Кон­такт­ное чис­ло ша­ров рав­но со­от­вет­ствен­но 24, 240 и 196560. Ша­ры рас­по­ла­га­ют­ся в вер­ши­нах ми­ни­маль­ных век­то­ров шах­мат­ной ре­шёт­ки, ре­шёт­ки Кор­ки­на—Зо­ло­та­рё­ва и ре­шёт­ки Ли­ча. По­след­нее про­дви­же­ние в этой за­да­че — ре­ше­ние в че­ты­рёх­мер­ном слу­чае — по­лу­че­но рос­сий­ским ма­те­ма­ти­ком Оле­гом Му­си­ным.

Рас­смот­рен­ная кра­си­вая и, ка­за­лось бы, чи­сто ма­те­ма­ти­че­ская за­да­ча о кон­такт­ном чис­ле ша­ров яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем за­да­чи о сфе­ри­че­ском ко­де и име­ет мно­го важ­ных при­ло­же­ний  в тех­ни­ке при пе­ре­да­че ин­фор­ма­ции на рас­сто­я­ния. В част­но­сти, код, ис­прав­ля­ю­щий ошиб­ки, ис­поль­зу­ю­щий ре­ше­ние за­да­чи о кон­такт­ном чис­ле ша­ров в вось­ми­мер­ном ев­кли­до­вом про­стран­стве, при­ме­ня­ет­ся в мо­де­мах.

При пе­ре­да­че ин­фор­ма­ции на рас­сто­я­ния, на­при­мер с Зем­ли на спут­ник, воз­ни­ка­ют огра­ни­че­ния на мощ­ность пе­ре­да­ва­е­мо­го сиг­на­ла. Ма­те­ма­ти­че­ски эти огра­ни­че­ния  озна­ча­ют, что пе­ре­да­ва­е­мые сиг­на­лы яв­ля­ют­ся точ­ка­ми сфе­ры ев­кли­до­ва про­стран­ства неко­то­рой раз­мер­но­сти.

Каж­до­му ша­ру из за­да­чи о кон­такт­ном чис­ле ша­ров со­от­вет­ству­ет сфе­ри­че­ская шап­ка на цен­траль­ном ша­ре и точ­ка ка­са­ния. Эти точ­ки на­зы­ва­ют­ся ал­фа­ви­том. В кон­крет­ный мо­мент вре­ме­ни за­да­ча со­сто­ит в пе­ре­да­че то­чек ка­са­ния из неко­то­рых ша­пок на дру­гую сфе­ру. На­бор ша­пок, из ко­то­рых пе­ре­да­ют­ся сиг­на­лы, об­ра­зу­ет так на­зы­ва­е­мое сло­во. Од­на­ко при пе­ре­да­че мо­гут воз­ни­кать ис­ка­же­ния. Ес­ли шап­ки до­воль­но боль­шие, то при ис­ка­же­ни­ях точ­ка все­гда бу­дет по­па­дать внутрь той шап­ки, где бы­ла. То­гда пе­ре­да­ва­е­мую точ­ку мож­но од­но­знач­но вос­ста­но­вить, по­сколь­ку шап­ки не пе­ре­се­ка­ют­ся. Со­от­вет­ствен­но мож­но вос­ста­но­вить са­мо сло­во — на­бор ша­пок, из ко­то­рых пе­ре­да­ва­лись точ­ки.

Ес­ли из­вест­но, что ис­ка­же­ния при пе­ре­да­че ма­лень­кие, то мож­но рас­смат­ри­вать шап­ки мень­ше­го раз­ме­ра.

Же­ла­ние пе­ре­да­вать как мож­но боль­ше раз­ной ин­фор­ма­ции, т.е. иметь как мож­но боль­ше раз­ных слов, при­во­дит к за­да­че: рас­по­ло­жить как мож­но боль­ше сфе­ри­че­ских ша­пок за­дан­но­го раз­ме­ра на сфе­ре.

В пе­ре­во­де на язык ша­ров это при­во­дит к сле­ду­ю­щей за­да­че. Как мно­го оди­на­ко­вых ша­ров мо­гут ка­сать­ся ша­ра дру­го­го ра­ди­у­са?

Нере­шён­ные за­да­чи

Несмот­ря на боль­шое при­клад­ное зна­че­ние за­да­чи о сфе­ри­че­ском ко­де, её ре­ше­ние из­вест­нио лишь в неболь­шом чис­ле част­ных слу­ча­ев как в трёх­мер­ном про­стран­стве, так и в про­стран­ствах боль­шей раз­мер­но­сти. Точ­ное ре­ше­ние в об­щем слу­чае или хоть в ка­кой-ни­будь бес­ко­неч­ной се­рии слу­ча­ев по­ка не най­де­но.

Ли­те­ра­ту­ра

Дж. Кон­вей, Н. Сло­эн. Упа­ков­ки ша­ров, ре­шет­ки и груп­пы. М.: Мир, 1990.

J. Leech. The problem of the thirteen spheres // Mathematical Gazette. 1956. V. 40.  P. 22—23.

В. И. Ле­вен­штейн. О гра­ни­цах для упа­ко­вок в n-мер­ном ев­кли­до­вом про­стран­стве // До­кла­ды Ака­де­мии на­ук  СССР. 1979. Т. 245. С. 1299—1303.

A. M. Odlyzko, N. J. A. Sloane. New bounds on the number of unit  spheres that can touch a unit sphere in n dimensions // Journal Comb. Theory. A. 1979.  V. 26. P. 210—214.

О. Р. Му­син. Про­бле­ма два­дца­ти пя­ти сфер // Успе­хи ма­те­ма­ти­че­ских на­ук. 2003. Т. 58. Вып. 4. С. 153—154.

Обсуждение (сообщений: 2)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке