Непре­рыв­ность

На дос­ке от­ме­че­ны две точ­ки по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой: од­на ни­же, а дру­гая вы­ше пря­мой.

Со­еди­ним их непре­рыв­ной ли­ни­ей (не от­ры­вая ме­ла от дос­ки). То­гда в ка­кой-то точ­ке (быть мо­жет, не од­ной) на­ша ли­ния пе­ре­се­чёт пря­мую.

Ну и что тут та­ко­го? Ка­за­лось бы, со­вер­шен­но оче­вид­ный и да­же дет­ский факт, чем он мо­жет быть по­ле­зен ма­те­ма­ти­ке? Од­на­ко, несмот­ря на ка­жу­щу­ю­ся оче­вид­ность, это утвер­жде­ние яв­ля­ет­ся тео­ре­мой Боль­ца­но—Ко­ши и тре­бу­ет до­ка­за­тель­ства.

При­во­дить до­ка­за­тель­ство не бу­дем, а лишь за­ме­тим, что все усло­вия этой тео­ре­мы важ­ны. Ес­ли бы ли­ния не бы­ла непре­рыв­на (раз­ре­ша­лось бы от­ры­вать мел от дос­ки), то, ко­неч­но, мож­но бы­ло бы пе­ре­ско­чить сни­зу вверх, не пе­ре­се­кая пря­мую. Ес­ли бы рас­смат­ри­ва­лось не пе­ре­се­че­ние с пря­мой (мно­же­ством всех дей­стви­тель­ных чи­сел), а, на­при­мер, пе­ре­се­че­ние с мно­же­ством толь­ко ра­цио­наль­ных чи­сел, то опять же — пе­ре­се­че­ния мог­ло бы и не быть.

Са­мое уди­ви­тель­ное, что это, ка­за­лось бы, дет­ское на­блю­де­ние яв­ля­ет­ся очень мощ­ным сред­ством, ис­поль­зу­е­мым в до­ка­за­тель­стве неко­то­рых ма­те­ма­ти­че­ских утвер­жде­ний. Его недо­ста­ток — некон­струк­тив­ность: ли­ния где-то обя­за­тель­но пе­ре­се­чет пря­мую, но в ка­кой имен­но точ­ке — ска­зать невоз­мож­но.

При­ме­ры ис­поль­зо­ва­ния тео­ре­мы Боль­ца­но—Ко­ши бу­дут пред­став­ле­ны в филь­мах раз­де­ла «Непре­рыв­ность».

Обсуждение (сообщений: 6)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке