Цик­ло­и­да

совместно с Еленой Зёрнышкиной

Видео

00:00|00:00

Помни­те оран­же­вые пласт­мас­со­вые ка­та­фо­ты — све­то­от­ра­жа­те­ли, при­креп­ля­ю­щи­е­ся к спи­цам ве­ло­си­пед­но­го ко­ле­са? При­кре­пим ка­та­фот к са­мо­му обо­ду ко­ле­са и про­сле­дим за его тра­ек­то­ри­ей. По­лу­чен­ные кри­вые при­над­ле­жат се­мей­ству цик­ло­ид.

Ко­ле­со при этом на­зы­ва­ет­ся про­из­во­дя­щим кру­гом (или окруж­но­стью) цик­ло­и­ды.

Но да­вай­те вер­нём­ся в наш век и пе­ре­ся­дем на бо­лее совре­мен­ную тех­ни­ку. На пу­ти бай­ка по­пал­ся ка­му­шек, ко­то­рый за­стрял в про­тек­то­ре ко­ле­са. Про­вер­нув­шись несколь­ко кру­гов с ко­ле­сом, ку­да по­ле­тит ка­мень, ко­гда вы­ско­чит из про­тек­то­ра? Про­тив на­прав­ле­ния дви­же­ния мо­то­цик­ла или по на­прав­ле­нию?

Как из­вест­но, сво­бод­ное дви­же­ние те­ла на­чи­на­ет­ся по ка­са­тель­ной к той тра­ек­то­рии, по ко­то­рой оно дви­га­лось. Ка­са­тель­ная к цик­ло­и­де все­гда на­прав­ле­на по на­прав­ле­нию дви­же­ния и про­хо­дит через верх­нюю точ­ку про­из­во­дя­щей окруж­но­сти. По на­прав­ле­нию дви­же­ния по­ле­тит и наш ка­му­шек.

Помни­те, как Вы ка­та­лись в дет­стве  по лу­жам на ве­ло­си­пе­де без зад­не­го кры­ла? Мок­рая по­лос­ка на ва­шей спине яв­ля­ет­ся жи­тей­ским под­твер­жде­ни­ем толь­ко что по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та.

Век XVII — это век цик­ло­и­ды. Луч­шие учё­ные изу­ча­ли её уди­ви­тель­ные свой­ства.

Ка­кая тра­ек­то­рия при­ве­дёт те­ло, дви­жу­ще­е­ся под дей­стви­ем си­лы тя­же­сти, из од­ной точ­ки в дру­гую за крат­чай­шее вре­мя? Это бы­ла од­на из пер­вых за­дач той на­у­ки, ко­то­рая сей­час но­сит на­зва­ние ва­ри­а­ци­он­ное ис­чис­ле­ние.

Ми­ни­ми­зи­ро­вать (или мак­си­ми­зи­ро­вать) мож­но раз­ные ве­щи — дли­ну пу­ти, ско­рость, вре­мя. В за­да­че о бра­хи­сто­хроне ми­ни­ми­зи­ру­ет­ся имен­но вре­мя (что под­чёр­ки­ва­ет­ся са­мим на­зва­ни­ем: греч. βράχιστος — наи­мень­ший, χρόνος — вре­мя).

Пер­вое, что при­хо­дит на ум, — это пря­мо­ли­ней­ная тра­ек­то­рия. Да­вай­те так­же рас­смот­рим пе­ре­вёр­ну­тую цик­ло­и­ду с точ­кой воз­вра­та в верх­ней из за­дан­ных то­чек. И, сле­дуя за Га­ли­лео Га­ли­ле­ем, — чет­вер­тин­ку окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щую на­ши точ­ки.

Сде­ла­ем боб­слей­ные трас­сы с рас­смот­рен­ны­ми про­фи­ля­ми и про­сле­дим, ка­кой из бо­бов при­е­дет пер­вым.

Ис­то­рия боб­слея бе­рёт своё на­ча­ло в Швей­ца­рии. В 1924 го­ду во фран­цуз­ском го­ро­де Ша­мо­ни про­хо­дят пер­вые зим­ние Олим­пий­ские иг­ры. На них уже про­во­дят­ся со­рев­но­ва­ния по боб­слею для эки­па­жей дво­ек и чет­вё­рок. Един­ствен­ный год, ко­гда на Олим­пий­ских иг­рах эки­паж бо­ба со­сто­ял из пя­ти че­ло­век, был 1928. С тех пор в боб­слее все­гда со­рев­ну­ют­ся муж­ские эки­па­жи двой­ки и чет­вёр­ки. В пра­ви­лах боб­слея мно­го ин­те­рес­но­го. Ко­неч­но же, су­ще­ству­ет огра­ни­че­ния на вес бо­ба и ко­ман­ды, но су­ще­ству­ют да­же огра­ни­че­ния на ма­те­ри­а­лы, ко­то­рые мож­но ис­поль­зо­вать в конь­ках бо­ба (пе­ред­няя па­ра их по­движ­на и свя­за­на с ру­лём, зад­няя за­креп­ле­на жёст­ко). На­при­мер, ра­дий не мо­жет ис­поль­зо­вать­ся при из­го­тов­ле­нии конь­ков.

Да­дим старт на­шим чет­вёр­кам. Ка­кой же боб пер­вым при­е­дет к фини­шу? Боб зе­лё­но­го цве­та, вы­сту­па­ю­щий за ко­ман­ду Ма­те­ма­ти­че­ских этю­дов и ка­тив­ший­ся по цик­ло­и­даль­ной гор­ке, при­хо­дит пер­вым!

По­че­му же Га­ли­лео Га­ли­лей рас­смат­ри­вал чет­вер­тин­ку окруж­но­сти и счи­тал, что это наи­луч­шая в смыс­ле вре­ме­ни тра­ек­то­рия спус­ка? Он впи­сы­вал в неё ло­ма­ные и за­ме­тил, что при уве­ли­че­нии чис­ла зве­ньев вре­мя спус­ка умень­ша­ет­ся. От­сю­да Га­ли­лей  есте­ствен­ным об­ра­зом пе­ре­шёл к окруж­но­сти, но сде­лал невер­ный вы­вод, что эта тра­ек­то­рия наи­луч­шая сре­ди всех воз­мож­ных. Как мы ви­де­ли, наи­луч­шей тра­ек­то­ри­ей яв­ля­ет­ся цик­ло­и­да.

Через две дан­ные точ­ки мож­но про­ве­сти един­ствен­ную цик­ло­и­ду с усло­ви­ем, что в верх­ней точ­ке на­хо­дит­ся точ­ка воз­вра­та цик­ло­и­ды. И да­же ко­гда цик­ло­и­де при­хо­дит­ся под­ни­мать­ся, чтобы прой­ти через вто­рую точ­ку, она всё рав­но бу­дет кри­вой наи­ско­рей­ше­го спус­ка!

Ещё од­на кра­си­вая за­да­ча, свя­зан­ная с цик­ло­и­дой, — за­да­ча о та­у­то­хроне. В пе­ре­во­де с гре­че­ско­го ταύτίς озна­ча­ет «тот же са­мый», χρόνος, как мы уже зна­ем — «вре­мя».

Сде­ла­ем три оди­на­ко­вые гор­ки с про­фи­лем в ви­де цик­ло­и­ды, так, чтобы кон­цы го­рок сов­па­да­ли и рас­по­ла­га­лись в вер­шине цик­ло­и­ды. По­ста­вим три бо­ба на раз­ные вы­со­ты и да­дим от­маш­ку. Уди­ви­тель­ней­ший факт — все бо­бы при­едут вниз од­новре­мен­но!

Зи­мой Вы мо­же­те по­стро­ить во дво­ре гор­ку изо льда и про­ве­рить это свой­ство вжи­вую.

За­да­ча о та­у­то­хроне со­сто­ит в на­хож­де­нии та­кой кри­вой, что, на­чи­ная с лю­бо­го на­чаль­но­го по­ло­же­ния, вре­мя спус­ка в за­дан­ную точ­ку бу­дет оди­на­ко­вым.

Хри­сти­ан Гюй­генс до­ка­зал, что един­ствен­ной та­у­то­хро­ной яв­ля­ет­ся цик­ло­и­да.

Ко­неч­но же, Гюй­ген­са не ин­те­ре­со­вал спуск по ле­дя­ным гор­кам. В то вре­мя учё­ные не име­ли та­кой рос­ко­ши за­ни­мать­ся на­у­ка­ми из люб­ви к ис­кус­ству. За­да­чи, ко­то­рые изу­ча­лись, ис­хо­ди­ли из жиз­ни и за­про­сов тех­ни­ки то­го вре­ме­ни. В XVII ве­ке со­вер­ша­ют­ся уже даль­ние мор­ские пла­ва­ния. Ши­ро­ту мо­ря­ки уме­ли опре­де­лять уже до­ста­точ­но точ­но, но уди­ви­тель­но, что дол­го­ту не уме­ли опре­де­лять со­всем. И один из пред­ла­гав­ших­ся спо­со­бов из­ме­ре­ния ши­ро­ты был ос­но­ван на на­ли­чии точ­ных хро­но­мет­ров.

Пер­вым, кто за­ду­мал де­лать ма­ят­ни­ко­вые ча­сы, ко­то­рые бы­ли бы точ­ны, был Га­ли­лео Га­ли­лей. Од­на­ко в тот мо­мент, ко­гда он на­чи­на­ет их ре­а­ли­зо­вы­вать, он уже стар, он слеп, и за остав­ший­ся год сво­ей жиз­ни учё­ный не успе­ва­ет сде­лать ча­сы. Он за­ве­ща­ет это сы­ну, од­на­ко тот мед­лит и на­чи­на­ет за­ни­мать­ся ма­ят­ни­ком то­же лишь пе­ред смер­тью и не успе­ва­ет ре­а­ли­зо­вать за­мы­сел. Сле­ду­ю­щей зна­ко­вой фигу­рой был Хри­сти­ан Гюй­генс.

Он за­ме­тил, что пе­ри­од ко­ле­ба­ния обыч­но­го ма­ят­ни­ка, рас­смат­ри­вав­ше­го­ся Га­ли­ле­ем, за­ви­сит от из­на­чаль­но­го по­ло­же­ния, т.е. от ам­пли­ту­ды. За­ду­мав­шись о том, ка­ко­ва долж­на быть тра­ек­то­рия дви­же­ния гру­за, чтобы вре­мя ка­че­ния по ней не за­ви­се­ло от ам­пли­ту­ды, он ре­ша­ет за­да­чу о та­у­то­хроне. Но как за­ста­вить груз дви­гать­ся по цик­ло­и­де? Пе­ре­во­дя тео­ре­ти­че­ские ис­сле­до­ва­ния в прак­ти­че­скую плос­кость, Гюй­генс де­ла­ет «щёч­ки», на ко­то­рые на­ма­ты­ва­ет­ся ве­рев­ка ма­ят­ни­ка, и ре­ша­ет ещё несколь­ко ма­те­ма­ти­че­ских за­дач. Он до­ка­зы­ва­ет, что «щёч­ки» долж­ны иметь про­филь той же са­мой цик­ло­и­ды, тем са­мым по­ка­зы­вая, что эво­лю­той  цик­ло­и­ды яв­ля­ет­ся цик­ло­и­да с те­ми же па­ра­мет­ра­ми.

Кро­ме то­го, пред­ло­жен­ная Гюй­ген­сом кон­струк­ция цик­ло­и­даль­но­го ма­ят­ни­ка поз­во­ля­ет по­счи­тать дли­ну цик­ло­и­ды. Ес­ли си­нюю ни­точ­ку, дли­на ко­то­рой рав­на че­ты­рём ра­ди­у­сам про­из­во­дя­ще­го кру­га, мак­си­маль­но от­кло­нить, то её ко­нец бу­дет в точ­ке пе­ре­се­че­ния «щёч­ки» и цик­ло­и­ды-тра­ек­то­рии, т.е. в вер­шине цик­ло­и­ды-«щёч­ки». Так как это по­ло­ви­на дли­ны ар­ки цик­ло­и­ды, то пол­ная дли­на рав­на вось­ми ра­ди­у­сам про­из­во­дя­ще­го кру­га.

Хри­сти­ан Гюй­генс сде­лал цик­ло­и­даль­ный ма­ят­ник, и ча­сы с ним про­хо­ди­ли ис­пы­та­ния в мор­ских пу­те­ше­стви­ях, но не при­жи­лись. Впро­чем, так же, как и ча­сы с обыч­ным ма­ят­ни­ком для этих це­лей.

От­че­го же, од­на­ко, до сих пор су­ще­ству­ют ча­со­вые ме­ха­низ­мы с обык­но­вен­ным ма­ят­ни­ком? Ес­ли при­гля­деть­ся, то при ма­лых от­кло­не­ни­ях, как у крас­но­го ма­ят­ни­ка, «щёч­ки» цик­ло­и­даль­но­го ма­ят­ни­ка по­чти не ока­зы­ва­ют вли­я­ния. Со­от­вет­ствен­но, дви­же­ние по цик­ло­и­де и по окруж­но­сти при ма­лых от­кло­не­ни­ях по­чти сов­па­да­ют.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке