Свер­ле­ние квад­рат­ных от­вер­стий

В филь­ме «Круг­лый тре­уголь­ник Ре­ло» рас­ска­зы­ва­ет­ся о фигу­рах, об­ла­да­ю­щих по­сто­ян­ной ши­ри­ной. Имен­но тре­уголь­ник Ре­ло — про­стей­шая фигу­ра по­сто­ян­ной ши­ри­ны — по­мо­жет нам в свер­ле­нии квад­рат­ных от­вер­стий. Ес­ли дви­гать центр это­го «тре­уголь­ни­ка» по некой тра­ек­то­рии, то его вер­ши­ны вы­чер­тят по­чти квад­рат, а сам он за­ме­тёт всю пло­щадь внут­ри по­лу­чен­ной фигу­ры.

Гра­ни­цы по­лу­чен­ной фигу­ры, за ис­клю­че­ни­ем неболь­ших ку­соч­ков по уг­лам, бу­дут стро­го пря­мы­ми! И ес­ли про­дол­жить от­рез­ки, тем са­мым до­ба­вив уго­лоч­ки, то по­лу­чит­ся в точ­но­сти квад­рат.

Для то­го, чтобы по­лу­чи­лось опи­сан­ное вы­ше, центр тре­уголь­ни­ка Ре­ло нуж­но дви­гать по тра­ек­то­рии, яв­ля­ю­щей­ся склей­кой из че­ты­рех оди­на­ко­вых дуг эл­лип­сов. Цен­тры эл­лип­сов рас­по­ло­же­ны в вер­ши­нах квад­ра­та, а по­лу­оси, по­вёр­ну­тые на угол 45° от­но­си­тель­но сто­рон квад­ра­та, рав­ны k(1+1/3)/2 и k(1-1/3)/2, где k — дли­на сто­ро­ны вы­чер­чи­ва­е­мо­го квад­ра­та.

Кри­вые, скруг­ля­ю­щие уг­лы, так­же яв­ля­ют­ся ду­га­ми эл­лип­сов с цен­тра­ми в уг­лах квад­ра­та, их по­лу­оси по­вёр­ну­ты на угол 45° от­но­си­тель­но сто­рон квад­ра­та и  рав­ны k(3+1)/2 и k(3-1)/2.

Пло­щадь неза­ме­тён­ных уго­лоч­ков со­став­ля­ет все­го око­ло 2% от пло­ща­ди все­го квад­ра­та!

Те­перь, ес­ли сде­лать свер­ло в ви­де тре­уголь­ни­ка Ре­ло, то мож­но бу­дет свер­лить квад­рат­ные от­вер­стия с немно­го скруг­лен­ны­ми угол­ка­ми, но аб­со­лют­но пря­мы­ми сто­ро­на­ми!

Оста­лось сде­лать та­кое свер­ло… Вер­нее, са­мо-то свер­ло сде­лать неслож­но, нуж­но толь­ко чтобы оно на­по­ми­на­ло в се­че­нии тре­уголь­ник Ре­ло, а ре­жу­щие кром­ки сов­па­да­ли с его вер­ши­на­ми.

Труд­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что, как уже бы­ло от­ме­че­но вы­ше, тра­ек­то­рия цен­тра свер­ла долж­на со­сто­ять из че­ты­рёх дуг эл­лип­сов. Ви­зу­аль­но эта кри­вая очень по­хо­жа на окруж­ность и да­же ма­те­ма­ти­че­ски близ­ка к ней, но всё же это не есть окруж­ность. А все экс­цен­три­ки (круг, по­са­жен­ный на круг дру­го­го ра­ди­у­са со сме­щён­ным цен­тром), ис­поль­зу­е­мые в тех­ни­ке, да­ют дви­же­ние стро­го по окруж­но­сти.

В 1914 го­ду ан­глий­ский ин­же­нер Гар­ри Джеймс Уаттс при­ду­мы­ва­ет, как устро­ить та­кое свер­ле­ние. На по­верх­ность он на­кла­ды­ва­ет на­прав­ля­ю­щий шаб­лон с про­ре­зью в ви­де квад­ра­та, в ко­то­ром хо­дит свер­ло, встав­лен­ное в па­трон со «сво­бод­но пла­ва­ю­щим в нём свер­лом». Па­тент на та­кой па­трон был вы­дан фир­ме, на­чав­ший из­го­тов­ле­ние свёрл Уатт­са в 1916 го­ду.

Дже­ро­ла­мо КАРДАНО (1501 — 1576). Ко­гда в 1541 го­ду им­пе­ра­тор Карл V три­ум­фаль­но во­шёл в за­во­ё­ван­ный Ми­лан, рек­тор кол­ле­гии вра­чей Кар­да­но шёл ря­дом с бал­да­хи­ном. В от­вет на ока­зан­ную честь он пред­ло­жил снаб­дить ко­ролев­ский эки­паж под­вес­кой из двух ва­лов, ка­че­ние ко­то­рых не вы­ве­дет ка­ре­ту из го­ри­зон­таль­но­го по­ло­же­ния […]. Спра­вед­ли­вость тре­бу­ет от­ме­тить, что идея та­кой си­сте­мы вос­хо­дит к ан­тич­но­сти и что по край­ней ме­ре в «Ат­лан­ти­че­ском ко­дек­се» Лео­нар­до да Вин­чи име­ет­ся ри­су­нок су­до­во­го ком­па­са с кар­дан­ным под­ве­сом. Та­кие ком­па­сы по­лу­чи­ли рас­про­стра­не­ние в пер­вой по­ло­вине XVI ве­ка, по-ви­ди­мо­му, без вли­я­ния Кар­да­но.

С. Г. Гин­ди­кин. Рас­ска­зы о физи­ках и ма­те­ма­ти­ках

Мы же вос­поль­зу­ем­ся дру­гой из­вест­ной кон­струк­ци­ей. При­кре­пим свер­ло жёст­ко к тре­уголь­ни­ку Ре­ло, по­ме­щён­но­му  в квад­рат­ную на­прав­ля­ю­щую рам­ку. Са­ма рам­ка фик­си­ру­ет­ся на дре­ли. Оста­лось те­перь пе­ре­дать вра­ще­ние па­тро­на дре­ли тре­уголь­ни­ку Ре­ло.

По­мо­га­ет ре­шить эту тех­ни­че­скую про­бле­му кон­струк­ция, ко­то­рую вы на­вер­ня­ка мно­го раз ви­де­ли под дни­щем про­ез­жав­ших по ули­це гру­зо­вых ав­то­мо­би­лей — кар­дан­ный вал. Эта пе­ре­да­ча по­лу­чи­ла своё на­зва­ние в честь Дже­ро­ла­мо Кар­да­но.

Те­перь у нас всё го­то­во к свер­ле­нию. Возь­мём фа­нер­ный лист и… вы­свер­лим квад­рат­ное от­вер­стие! Как уже го­во­ри­лось, сто­ро­ны бу­дут стро­го пря­мы­ми и лишь угол­ки немно­го скруг­ле­ны. При необ­хо­ди­мо­сти их мож­но под­пра­вить над­фи­лем.

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке