Сте­пе­ни сво­бо­ды

совместно с Михаилом Ковалёвым

Чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды — это ко­ли­че­ство неза­ви­си­мых па­ра­мет­ров, од­но­знач­но опре­де­ля­ю­щих по­ло­же­ние ме­ха­ни­че­ской си­сте­мы.

Рас­смот­рим плос­кий шар­нир­ный ме­ха­низм, со­сто­я­щий из двух оди­на­ко­вых па­рал­ле­ло­грам­мов, име­ю­щих два об­щих за­креп­лён­ных крас­ных шар­ни­ра. Чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды та­ко­го ме­ха­низ­ма, ко­неч­но, рав­но двум, так как па­рал­ле­ло­грам­мы мо­гут вра­щать­ся неза­ви­си­мо друг от дру­га, и в ка­че­стве па­ра­мет­ров мож­но, на­при­мер, вы­брать уг­лы по­во­ро­та па­рал­ле­ло­грам­мов, от­счи­ты­ва­е­мые от го­ри­зон­та­ли.

Все­гда ли за кон­крет­ным ме­ха­низ­мом «за­креп­ле­но» опре­де­лён­ное неиз­мен­ное чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды? Или же бы­ва­ют ме­ха­низ­мы, у ко­то­рых чис­ло сте­пе­ней сво­бо­ды пе­ре­мен­но? Ока­зы­ва­ет­ся, бы­ва­ют…

Пер­вый плос­кий шар­нир­ный ме­ха­низм с пе­ре­мен­ным чис­лом сте­пе­ней сво­бо­ды был при­ду­ман В. Вун­дер­ли­хом в 1954 го­ду. Он со­сто­ял из двух за­креп­лён­ных шар­ни­ров и 12 зве­ньев. Мы же рас­смот­рим бо­лее про­стой ме­ха­низм с де­вя­тью зве­нья­ми, при­ду­ман­ный рос­сий­ским ма­те­ма­ти­ком Ми­ха­и­лом Ко­валё­вым.

До­ба­вим к па­рал­ле­ло­грам­мам «сред­ние ли­нии» и из точ­ки их пе­ре­се­че­ния про­ве­дём ещё од­но ко­рот­кое зве­но, окан­чи­ва­ю­ще­е­ся на дру­гом кон­це за­креп­лён­ным крас­ным шар­ни­ром.

По­ка си­ний шар­нир оста­ет­ся на цен­траль­ной ли­нии, со­еди­ня­ю­щей два из­на­чаль­ных непо­движ­ных крас­ных шар­ни­ра, до­бав­лен­ные зве­нья не вли­я­ют на ко­ли­че­ство сте­пе­ней сво­бо­ды ме­ха­низ­ма. Его по­ло­же­ние за­да­ёт­ся, на­при­мер, дву­мя уг­ла­ми по­во­ро­та па­рал­ле­ло­грам­мов, от­счи­ты­ва­е­мых от го­ри­зон­та­ли.

Од­на­ко си­ний шар­нир мо­жет уй­ти с цен­траль­ной ли­нии в мо­мент, ко­гда сред­ние ли­нии и ма­лень­кое зве­но ле­жат на од­ной пря­мой. И как толь­ко си­ний шар­нир ухо­дит с цен­траль­ной ли­нии, по­ло­же­ние все­го ме­ха­низ­ма на­чи­на­ет опре­де­лять­ся лишь од­ним па­ра­мет­ром! В ка­че­стве это­го па­ра­мет­ра мож­но вы­брать, на­при­мер, угол меж­ду из­на­чаль­ным по­ло­же­ни­ем до­бав­лен­но­го ко­рот­ко­го зве­на и его по­ло­же­ни­ем в дан­ный мо­мент вре­ме­ни.

Ли­те­ра­ту­ра

W. Wunderlich. Ein merkwürdiges Zwölfstabgetriebe // Österreichisches Ingenieurarchiv. 1954. Band 8. Heft 2/3. S. 224—228.

K. Wohlhart. Kinematotropic Linkages // Recent Advances in Robot Kinematics. Kluwer Academic Publishers, 1996.

М. Д. Ко­валёв. Гео­мет­ри­че­ская тео­рия шар­нир­ных устройств // Из­ве­стия РАН. Се­рия ма­те­ма­ти­че­ская. 1994. Т. 58. № 1. C. 45—70.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»6

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке