Крат­чай­шая

На­ша пла­не­та — Зем­ля — име­ет вид ша­ра, слег­ка при­плюс­ну­то­го по по­лю­сам. До­воль­но дав­но лю­ди ис­поль­зу­ют гло­бус в ви­де сфе­ры для изоб­ра­же­ния Зем­ли. Но ещё бо­лее древ­ний спо­соб пред­став­ле­ния зем­ной по­верх­но­сти — кар­та.

Сфе­ра яв­ля­ет­ся по­верх­но­стью по­сто­ян­ной по­ло­жи­тель­ной кри­виз­ны, и по­это­му её нель­зя раз­ло­жить на плос­кость без ис­ка­же­ний. Спо­со­бы по­стро­е­ния карт — кар­то­гра­фи­че­ские про­ек­ции — име­ют дав­нюю и очень ин­те­рес­ную ис­то­рию, ка­кие-то из этих пред­став­ле­ний бо­лее при­выч­ны нам, ка­кие-то ис­поль­зу­ют­ся толь­ко в спе­ци­аль­ных во­про­сах и ре­же встре­ча­ют­ся в обы­ден­ной жиз­ни, од­на­ко это те­ма для дру­го­го мульт­филь­ма.

Ко­гда-то бы­ла очень хо­ро­шая тра­ди­ция ве­шать кар­ту на кухне или в дет­ской ком­на­те. Лю­бое но­вост­ное со­об­ще­ние сра­зу име­ло на­гляд­ную гео­гра­фи­че­скую ин­тер­пре­та­цию.

По­смот­рим на кар­ту, вы­пол­нен­ную в од­ной из стан­дарт­ных про­ек­ций, и про­сле­дим на ней, по ка­ко­му марш­ру­ту ле­та­ют са­мо­ле­ты из Моск­вы на во­сток на­шей стра­ны, на­при­мер, во Вла­ди­во­сток. Ес­ли вы ко­гда-ни­будь про­де­лы­ва­ли этот марш­рут, то на­вер­ня­ка за­ме­ти­ли, что са­мо­лёт за­би­ра­ет­ся вы­со­ко вверх по кар­те.

Но по­лёт са­мо­ле­та — очень до­ро­гое удо­воль­ствие. За­чем же они де­ла­ют та­кой крюк, ес­ли мож­но бы­ло бы про­ле­теть бо­лее ко­рот­ким марш­ру­том, со­от­вет­ству­ю­щим на кар­те пря­мой?

Всё де­ло в том, что по­ня­тие крат­чай­ше­го рас­сто­я­ния нераз­рыв­но свя­за­но с той по­верх­но­стью, по ко­то­рой оно из­ме­ря­ет­ся. Как уже от­ме­ча­лось, лю­бая плос­кая кар­та пред­став­ля­ет зем­ную по­верх­ность с ис­ка­же­ни­я­ми. Да­вай­те рас­смот­рим со­от­вет­ству­ю­щие тра­ек­то­рии на гло­бу­се. И вот толь­ко те­перь мож­но су­дить о длине  об­суж­да­е­мых марш­ру­тов.

Чтобы най­ти крат­чай­шее рас­сто­я­ние меж­ду дву­мя точ­ка­ми на сфе­ре, необ­хо­ди­мо про­ве­сти через них боль­шую окруж­ность. Это окруж­ность, об­ра­зо­ван­ная пе­ре­се­че­ни­ем сфе­ры с плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через центр сфе­ры и на­ши точ­ки. Ми­ни­маль­ная из двух дуг боль­шой окруж­но­сти, со­еди­ня­ю­щая точ­ки, и толь­ко она яв­ля­ет­ся крат­чай­шим рас­сто­я­ни­ем на сфе­ре меж­ду ни­ми. В ма­те­ма­ти­ке ли­нию, от­ве­ча­ю­щую ми­ни­маль­но­му рас­сто­я­нию меж­ду дву­мя точ­ка­ми, на­зы­ва­ют гео­де­зи­че­ской на рас­смат­ри­ва­е­мой по­верх­но­сти.

Все осталь­ные марш­ру­ты, со­еди­ня­ю­щие Моск­ву и Вла­ди­во­сток, в том чис­ле тот, ко­то­рый ка­зал­ся пря­мым на кар­те, бу­дут длин­нее этой ду­ги!

Как ви­дим, са­мо­лё­ты ле­та­ют имен­но по ду­ге боль­шой окруж­но­сти, т. е. по са­мо­му ко­рот­ко­му пу­ти.

Обсуждение (сообщений: 2)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке