За­да­ча о бу­тер­бро­де

Мож­но ли бу­тер­брод из хле­ба, сы­ра и кол­ба­сы раз­ре­зать од­ной плос­ко­стью так, чтобы в обе­их ча­стях бы­ло оди­на­ко­вое (по объ­ё­му) ко­ли­че­ство кол­ба­сы, а так­же оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство сы­ра и хле­ба? Ока­зы­ва­ет­ся, что мож­но...

Рас­смот­рим сна­ча­ла за­да­чу в дву­мер­ном слу­чае. На плос­ко­сти есть две про­из­воль­ные об­ла­сти. Су­ще­ству­ет ли пря­мая, де­ля­щая ров­но по­по­лам по пло­ща­ди и первую об­ласть, и (од­новре­мен­но) вто­рую?

До­ка­жем, что су­ще­ству­ет. Для это­го по­ра­бо­та­ем вна­ча­ле с од­ной из дан­ных об­ла­стей. Вы­бе­рем про­из­воль­ное на­прав­ле­ние. Су­ще­ству­ет ли пря­мая, па­рал­лель­ная это­му на­прав­ле­нию, ко­то­рая де­лит об­ласть по­по­лам? По­ка­жем, что та­кая пря­мая для лю­бо­го на­прав­ле­ния все­гда най­дёт­ся. Про­ве­дём пря­мую вы­ше об­ла­сти так, чтобы она бы­ла пол­но­стью с од­ной сто­ро­ны. Бу­дем стро­ить гра­фи­ки — пло­щадь об­ла­сти спра­ва и сле­ва от пря­мой (она у нас на­прав­лен­ная, по­это­му «пра­во» и «ле­во» опре­де­ле­ны). Сей­час вся об­ласть спра­ва от пря­мой, и, зна­чит, один стол­бец со­от­вет­ству­ет пол­ной пло­ща­ди кляк­сы, а вто­рой стол­бец — нуле­вой. Нач­нём дви­гать пря­мую впра­во так, чтобы она все­гда бы­ла па­рал­лель­на вы­бран­но­му на­прав­ле­нию. По ме­ре про­хож­де­ния об­ла­сти пло­щадь спра­ва бу­дет непре­рыв­но умень­шат­ся, а пло­щадь сле­ва от пря­мой — непре­рыв­но уве­ли­чи­вать­ся. В ка­кой-то мо­мент вся об­ласть оста­нет­ся сле­ва. Си­ний стол­бец бу­дет со­от­вет­ство­вать пол­ной пло­ща­ди об­ла­сти, а ко­рич­не­вый бу­дет нуле­вым.

По­смот­рим на по­лу­чен­ные гра­фи­ки пло­ща­дей спра­ва и сле­ва от пря­мой. Так как они непре­рыв­ны, то где-то су­ще­ству­ет точ­ка пе­ре­се­че­ния. Она и со­от­вет­ству­ет ис­ко­мой пря­мой — де­ля­щей пло­щадь об­ла­сти по­по­лам и па­рал­лель­ной из­на­чаль­но вы­бран­но­му на­прав­ле­нию.

Так как на­прав­ле­ние вы­би­ра­лось про­из­воль­ное, то, зна­чит, пря­мая, де­ля­щая од­ну об­ласть по­по­лам, су­ще­ству­ет в лю­бом на­прав­ле­нии.

Вер­нём­ся к двум об­ла­стям. Бу­дем рас­смат­ри­вать толь­ко те пря­мые, ко­то­рые де­лят ле­вую об­ласть по­по­лам. Рас­смот­рим та­кую пря­мую, ко­то­рая го­ри­зон­таль­на и на­прав­ле­на впра­во. Она как-то по­де­лит пра­вую об­ласть. Бу­дем смот­реть за гра­фи­ком раз­ни­цы пло­ща­дей пра­вой об­ла­сти —  пло­щадь пра­вее пря­мой ми­нус пло­щадь ле­вее пря­мой. Сей­час эта раз­ность от­ри­ца­тель­на. Про­бе­жим­ся по на­прав­ле­ни­ям от ну­ля до пол­но­го уг­ла. В этом ко­неч­ном по­ло­же­нии гео­мет­ри­че­ски пря­мая сов­па­да­ет с из­на­чаль­ной, а вот «пра­во»—«ле­во» по­ме­ня­лись ме­ста­ми. И те­перь зна­че­ние рас­смат­ри­ва­е­мой раз­но­сти по­ло­жи­тель­но. Так как раз­ность ме­ня­лась непре­рыв­но, то, зна­чит, её гра­фик где-то пе­ре­сёк нуле­вое зна­че­ние. И это­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ет пря­мая, де­ля­щая пра­вую об­ласть ров­но по­по­лам. Так как мы рас­смат­ри­ва­ли толь­ко те пря­мые, ко­то­рые де­лят по­по­лам ле­вую об­ласть, то, зна­чит, мы на­шли ис­ко­мую пря­мую. Она де­лит и ле­вую, и пра­вую об­ла­сти од­новре­мен­но по­по­лам по пло­ща­ди.

Вот так ис­поль­зу­ет­ся тео­ре­ма Боль­ца­но—Ко­ши. К со­жа­ле­нию, она некон­струк­тив­на. И как про­хо­дит эта пря­мая в за­ви­си­мо­сти от рас­смат­ри­ва­е­мых об­ла­стей, без при­вле­че­ния ка­ких-то до­пол­ни­тель­ных идей, ска­зать нель­зя. Но для лю­бых об­ла­стей до­ка­за­но, что она су­ще­ству­ет! По ти­пу та­кие тео­ре­мы ещё на­зы­ва­ют тео­ре­ма­ми су­ще­ство­ва­ния.

Пе­рей­дём к рас­смот­ре­нию трёх­мер­но­го слу­чая. Вме­сто двух об­ла­стей на дву­мер­ной плос­ко­сти в трёх­мер­ном про­стран­стве рас­смот­рим три про­из­воль­ных те­ла, про­из­воль­но рас­по­ло­жен­ных друг от­но­си­тель­но дру­га. Вме­сто пло­ща­дей — объ­ё­мы. Ока­зы­ва­ет­ся, и в этом слу­чае по­хо­жим рас­суж­де­ни­ем, что мы ис­поль­зо­ва­ли для плос­ко­сти, мож­но до­ка­зать по­доб­ную тео­ре­му су­ще­ство­ва­ния. Для лю­бых трёх тел су­ще­ству­ет плос­кость, ко­то­рая каж­дое из тел де­лит по объ­ё­му ров­но по­по­лам.

Чтобы жизнь бы­ла вкус­нее, рас­смот­рим бу­тер­брод из хле­ба, сы­ра и кол­ба­сы. Три те­ла, как-то рас­по­ло­жен­ных друг от­но­си­тель­но дру­га. По­про­буй­те до­ка­зать, что су­ще­ству­ет плос­кость, де­ля­щая и кол­ба­су ров­но по­по­лам, и од­новре­мен­но сыр и хлеб то­же ров­но по­по­лам. С при­вле­че­ни­ем до­пол­ни­тель­ных рас­суж­де­ний, для бу­тер­бро­да, пред­став­лен­но­го в филь­ме, та­кая плос­кость бы­ла най­де­на и, дей­стви­тель­но, по­сле про­вер­ки вид­но, что все три те­ла по­де­ле­ны ров­но по­по­лам!

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке