Пря­ми­ло Лип­ки­на

Со вре­мён изоб­ре­те­ния Джейм­сом Уат­том па­ро­вой ма­ши­ны сто­я­ла за­да­ча по­стро­е­ния шар­нир­но­го ме­ха­низ­ма, пе­ре­во­дя­ще­го дви­же­ние од­но­го шар­ни­ра по окруж­но­сти в дви­же­ние дру­го­го шар­ни­ра по пря­мой, т.е. спрям­ля­ю­ще­го ме­ха­низ­ма, или пря­ми­ла.

Дол­гое вре­мя учё­ные и ин­же­не­ры не мог­ли ре­шить эту за­да­чу, стро­и­ли при­бли­жён­ные пря­ми­ла, где ве­до­мый шар­нир хо­дил не стро­го по пря­мой, но ря­дом, не очень да­ле­ко уда­ля­ясь от неё. А окон­ча­тель­но ре­шить за­да­чу со­зда­ния пря­ми­ла по­мог­ла кра­си­вая ма­те­ма­ти­ка.

На­пом­ним, что ин­вер­си­ей на плос­ко­сти от­но­си­тель­но окруж­но­сти на­зы­ва­ет­ся вза­им­но од­но­знач­ное отоб­ра­же­ние внут­рен­но­сти окруж­но­сти (за ис­клю­че­ни­ем од­ной точ­ки — цен­тра) на всю внеш­ность окруж­но­сти. Об­ра­зом точ­ки А яв­ля­ет­ся точ­ка А', ле­жа­щая на лу­че, вы­хо­дя­щем из цен­тра окруж­но­сти и про­хо­дя­щем через точ­ку А. Рас­по­ло­же­ние на лу­че опре­де­ля­ет­ся ра­вен­ством ОА·ОА'=R². С по­мо­щью ин­вер­сии в гео­мет­рии ре­ша­ет­ся мно­го ин­те­рес­ных за­дач. Как мы уви­дим, пре­об­ра­зо­ва­ние ин­вер­сии поз­во­ля­ет ре­шать не толь­ко тео­ре­ти­че­ские за­да­чи.

Рас­смот­рим шар­нир­ный ме­ха­низм с од­ним за­креп­лён­ным крас­ным шар­ни­ром. К кон­цам двух длин­ных зве­ньев, име­ю­щих оди­на­ко­вую дли­ну, при­креп­лён шар­нир­ный ромб.

Этот ме­ха­низм ре­а­ли­зу­ет ин­вер­сию от­но­си­тель­но окруж­но­сти с цен­тром в за­креп­лён­ном шар­ни­ре и ра­ди­у­сом, за­ви­ся­щим от дли­ны зве­ньев ме­ха­низ­ма.

С по­мо­щью на­ше­го ме­ха­низ­ма по­смот­рим, ка­ки­ми свой­ства­ми об­ла­да­ет отоб­ра­же­ние ин­вер­сии.

Из са­мо­го опре­де­ле­ния ин­вер­сии по­нят­но, что об­ра­зом от­рез­ка, ле­жа­ще­го на пря­мой, про­хо­дя­щей через центр ин­вер­сии, яв­ля­ет­ся от­ре­зок, сно­ва ле­жа­щий на этой же пря­мой.

Об­ра­зом от­рез­ка, ле­жа­ще­го на пря­мой, не про­хо­дя­щей через центр ин­вер­сии, яв­ля­ет­ся ду­га окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через центр ин­вер­сии.

Окруж­ность, не про­хо­дя­щая через центр ин­вер­сии и не пе­ре­се­ка­ю­ща­я­ся с окруж­но­стью ин­вер­сии, пе­ре­во­дит­ся ме­ха­низ­мом сно­ва в окруж­ность.

Ин­вер­сия со­хра­ня­ет уг­лы меж­ду кри­вы­ми, од­на­ко ме­ня­ет их ори­ен­та­цию. Та­кие пре­об­ра­зо­ва­ния в ма­те­ма­ти­ке на­зы­ва­ют­ся ан­ти­кон­форм­ны­ми (кон­форм­ные — те, ко­то­рые со­хра­ня­ют и уг­лы, и их ори­ен­та­цию).

Ду­га окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через центр ин­вер­сии, отоб­ра­жа­ет­ся… в точ­но пря­мо­ли­ней­ный от­ре­зок!

Имен­но это свой­ство и бы­ло ис­поль­зо­ва­но для по­стро­е­ния пер­во­го в ис­то­рии точ­но­го пря­ми­ла. Для то­го чтобы ве­ду­щий шар­нир хо­дил стро­го по окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через центр ин­вер­сии, до­ба­вим непо­движ­ный шар­нир в центр окруж­но­сти и зве­но, по длине рав­ное ра­ди­у­су. Тем са­мым ве­до­мый шар­нир все­гда бу­дет хо­дить по пря­мо­ли­ней­но­му участ­ку. Вви­ду то­го, что дан­ный тип пря­мил ис­поль­зу­ет свой­ства ин­вер­сии, их ча­сто на­зы­ва­ют ин­вер­со­ра­ми.

О по­стро­е­нии ин­вер­со­ра в 1864 го­ду в част­ном пись­ме со­об­щил офи­цер ин­же­нер­но­го кор­пу­са фран­цуз­ской ар­мии По­се­лье (Charles Nicolas Peaucellier, 1823—1913). Од­на­ко он не ука­зал ни­ка­ких по­дроб­но­стей по­стро­е­ния ме­ха­низ­ма. В 1868 го­ду сту­дент П. Л. Че­бы­ше­ва Ли­п­ман Лип­кин (1846—1876) изоб­рёл ин­вер­сор. Его по­дроб­ная ста­тья вы­шла в 1870 го­ду, и лишь в 1873 го­ду по­яви­лась ста­тья По­се­лье с опи­са­ни­ем та­ко­го же пря­ми­ла и со ссыл­кой на ра­бо­ту Лип­ки­на.

Впо­след­ствии бы­ли по­стро­е­ны пря­ми­ла, ос­но­вы­ва­ю­щи­е­ся и на дру­гих ма­те­ма­ти­че­ских иде­ях. Од­на­ко ин­вер­сор от­ли­ча­ет­ся кра­со­той, хо­ро­ши­ми ме­ха­ни­че­ски­ми свой­ства­ми и на­шёл мно­го при­ме­не­ний в тех­ни­ке.

Обсуждение (сообщений: 4)

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»6

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке