Неви­дим­ка

совместно с Владимиром Юрьевичем Протасовым

Видео

00:00|00:00

Картинки

Ко­гда я за­кон­чил опыт, уже на­сту­пи­ла ночь;
ни­че­го не бы­ло вид­но, кро­ме
ту­ман­ных пя­тен на ме­сте глаз и ког­тей.

Herbert Wells. The Invisible Man. 1897.

Гер­берт Уэллс три­жды был в Рос­сии. Во вре­мя вто­ро­го сво­е­го ви­зи­та, уже в Со­вет­ский Со­юз, встре­чал­ся с Яко­вом Ис­и­до­ро­ви­чем Пе­рель­ма­ном, ко­то­рый об­ра­тил вни­ма­ние ав­то­ра «Че­ло­ве­ка-неви­дим­ки» на сле­ду­ю­щий факт: ес­ли че­ло­век весь неви­дим, то и глаз­ные хру­ста­ли­ки неви­ди­мы, а зна­чит, не пре­лом­ля­ют свет и не со­би­ра­ют изоб­ра­же­ние на сет­чат­ке. Та­кой че­ло­век сам не мо­жет ви­деть!

Так бы­ва­ют ли неви­ди­мые те­ла, пусть и неоду­шев­лён­ные? В 2009 го­ду ма­те­ма­ти­ки до­ка­за­ли, что неоду­шев­лён­ные бы­ва­ют!

Но нач­нём с XVII ве­ка. В «Ма­те­ма­ти­че­ских на­ча­лах на­ту­раль­ной фило­со­фии» (“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”) Иса­ак Нью­тон изу­ча­ет за­да­чу о па­де­нии (дви­же­нии) раз­лич­ных тел в «ред­кой сре­де, со­сто­я­щей из рав­ных ча­стиц, сво­бод­но рас­по­ло­жен­ных в рав­ных друг от дру­га рас­сто­я­ни­ях», при столк­но­ве­нии с те­лом от­ле­та­ю­щих аб­со­лют­но упру­го. Впо­след­ствии эта за­да­ча по­лу­чи­ла на­зва­ние «аэро­ди­на­ми­че­ская за­да­ча Нью­то­на».

Пер­вые два те­ла, ко­то­рые он рас­смат­ри­ва­ет, — шар и ци­линдр, опи­сан­ные на рав­ных диа­мет­рах. Ка­кое из этих тел бу­дет иметь мень­шее со­про­тив­ле­ние? Гео­мет­ри­че­ски­ми ме­то­да­ми Нью­тон по­ка­зы­ва­ет, что у ша­ра со­про­тив­ле­ние бу­дет в два ра­за мень­ше.

Да­лее Нью­тон пе­ре­хо­дит к рас­смот­ре­нию ко­ну­сов вра­ще­ния. Сре­ди всех ко­ну­сов с фик­си­ро­ван­ным ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния и фик­си­ро­ван­ной вы­со­той най­ти тот (воз­мож­но, ост­рый, а быть мо­жет, усе­чён­ный), у ко­то­ро­го со­про­тив­ле­ние в ред­кой сре­де при дви­же­нии вдоль оси вра­ще­ния бу­дет ми­ни­маль­ным.

Рас­смот­рим се­че­ние ко­ну­са и за­да­чу в плос­ком слу­чае.

Что же та­кое со­про­тив­ле­ние? При па­де­нии ко­нус стал­ки­ва­ет­ся с ша­ри­ка­ми — ча­сти­ца­ми ред­кой сре­ды. Часть ша­ри­ков по­па­да­ет в ма­лое ос­но­ва­ние ко­ну­са, часть — в бо­ко­вую по­верх­ность, неко­то­рые про­ле­та­ют ми­мо и во­об­ще не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на дви­же­ние ко­ну­са. При упру­гом столк­но­ве­нии с ко­ну­сом ша­рик ме­ня­ет на­прав­ле­ние дви­же­ния по за­ко­ну «угол па­де­ния ра­вен уг­лу от­ра­же­ния». Из­ме­не­ние вер­ти­каль­ной со­став­ля­ю­щей век­то­ра им­пуль­са ша­ри­ка и есть то со­про­тив­ле­ние, ко­то­рое ша­рик ока­зал па­де­нию ко­ну­са. Так как в сред­нем ша­ри­ки рав­но­мер­но уда­ря­ют­ся о по­верх­ность те­ла, то сдви­ги впра­во-вле­во ком­пен­си­ру­ют друг дру­га и не рас­смат­ри­ва­ют­ся.

В плос­ком слу­чае со­про­тив­ле­ние се­че­ния ко­ну­са про­пор­цио­наль­но сум­ме пло­ща­дей пря­мо­уголь­ни­ка, по­стро­ен­но­го на ма­лень­ком ос­но­ва­нии, и па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на бо­ко­вой сто­роне. И это со­про­тив­ле­ние на­до све­сти к ми­ни­му­му. Ес­ли по­счи­тать, то наи­мень­шей пло­щадь зе­лё­ной фигу­ры бу­дет в том слу­чае, ко­гда угол меж­ду ос­но­ва­ни­ем и об­ра­зу­ю­щей бу­дет ра­вен 135°. Т. е. ша­рик по­сле со­уда­ре­ния с об­ра­зу­ю­щей бу­дет от­ле­тать стро­го го­ри­зон­таль­но.

Сле­ду­ет ли из ре­ше­ния за­да­чи в плос­ком слу­чае, что оп­ти­маль­ный ко­нус в трёх­мер­ной за­да­че бу­дет удо­вле­тво­рять то­му же усло­вию? Ока­зы­ва­ет­ся, нет. Чтобы пе­рей­ти от се­че­ния к са­мо­му те­лу, нуж­но плос­кую кар­тин­ку про­вра­щать от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси. Бо­лее да­лё­кие от оси вер­ти­каль­ные от­рез­ки, об­ра­зо­вы­вав­шие пло­щадь, бу­дут про­хо­дить бо­лее длин­ный путь при вра­ще­нии и бу­дут вно­сить боль­ший вклад в объ­ём, со­от­вет­ствен­но, ми­ни­мум объ­ё­ма в ис­ход­ной за­да­че ис­кать по плос­кой кар­тин­ке нель­зя.

В трёх­мер­ном слу­чае со­про­тив­ле­ние си­не­го ко­ну­са про­пор­цио­наль­но объ­ё­му зе­лё­но­го те­ла, и нуж­но най­ти ми­ни­мум это­го объ­ё­ма. Нью­тон по­ка­зы­ва­ет, что ко­нус бу­дет оп­ти­маль­ным — иметь наи­мень­шее со­про­тив­ле­ние — при сле­ду­ю­щем усло­вии. Возь­мём се­ре­ди­ну вы­со­ты и со­еди­ним ее с точ­кой ос­но­ва­ния ко­ну­са. От­ло­жим та­кой же по длине от­ре­зок вер­ти­каль­но вниз от се­ре­ди­ны вы­со­ты. Об­ра­зу­ю­щая оп­ти­маль­но­го ко­ну­са долж­на ле­жать на ос­но­ва­нии по­лу­чив­ше­го­ся рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Уди­ви­тель­но, что ко­нус с наи­мень­шим со­про­тив­ле­ни­ем бу­дет усе­чён­ным!

А ка­ко­во бу­дет наи­луч­шее, в смыс­ле ми­ни­маль­но­сти со­про­тив­ле­ния, вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния при дан­ных ши­рине и вы­со­те? Несмот­ря на от­сут­ствие в то вре­мя ва­ри­а­ци­он­но­го ис­чис­ле­ния (имен­но ме­то­да­ми этой на­у­ки сей­час ре­ша­ют­ся та­кие за­да­чи), Нью­тон на­хо­дит от­вет и на этот во­прос. Он по­ка­зы­ва­ет, что наи­луч­шее вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния бу­дет не силь­но от­ли­чать­ся от оп­ти­маль­но­го ко­ну­са, и в точ­но­сти вы­чис­ля­ет об­ра­зу­ю­щую это­го те­ла. Опре­де­лив наи­луч­шее вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния, он пи­шет: «Я счи­таю, что это пред­ло­же­ние мо­жет быть не бес­по­лез­но при по­стро­е­нии су­дов».

Со вре­мён Иса­а­ка Нью­то­на, бо­лее 300 лет учё­ные рас­смат­ри­ва­ли аэро­ди­на­ми­че­скую за­да­чу в ред­кой сре­де в той по­ста­нов­ке, что бы­ла им сфор­му­ли­ро­ва­на — най­ти вы­пук­лое те­ло вра­ще­ния. Ка­за­лось есте­ствен­ным, что наи­луч­шее те­ло долж­но быть вы­пук­лым. Лишь в XXI ве­ке от­ка­за­лись от усло­вия вы­пук­ло­сти, и это при­ве­ло к уди­ви­тель­ным ре­зуль­та­там!

Возь­мём, к при­ме­ру, наи­луч­шее те­ло, най­ден­ное Нью­то­ном, и в его плос­кой ча­сти сде­ла­ем тре­уголь­ную вы­ем­ку. Те­ло станет уже невы­пук­лым, но его со­про­тив­ле­ние умень­шит­ся по срав­не­нию с ис­ход­ным вы­пук­лым. Дей­стви­тель­но, ес­ли вы­ем­ка не слиш­ком глу­бо­кая, то по­сле со­уда­ре­ния ша­рик от­ско­чит по на­клон­ной и боль­ше не уда­рит­ся о те­ло. Вер­ти­каль­ная со­став­ля­ю­щая век­то­ра им­пуль­са ша­ри­ка, а зна­чит, и тор­мо­же­ние те­ла при та­ком со­уда­ре­нии бу­дет мень­ше, чем при от­ско­ке от го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти.

Рас­смот­рим две ин­те­рес­ные кон­струк­ции невы­пук­лых тел, пред­ло­жен­ные в ра­бо­тах А. Ю. Пла­хо­ва и его уче­ни­ков.

Плос­кое се­че­ние пер­вой кон­струк­ции со­сто­ит из двух кус­ков па­ра­бол, рас­по­ло­жен­ных так, что фо­кус и ось сим­мет­рии у них об­щие. Дви­же­ние бу­дет про­ис­хо­дить вдоль оси па­ра­бол. Как вы помни­те, у па­ра­бо­лы есть оп­ти­че­ское свой­ство — лу­чи, па­рал­лель­ные оси, по­сле от­ра­же­ния от па­ра­бо­лы про­хо­дят через фо­кус. В рас­смат­ри­ва­е­мой кон­струк­ции часть ша­ров, с ко­то­ры­ми стал­ки­ва­ет­ся та­кое те­ло, по­па­да­ет в верх­нюю часть ма­лень­кой па­ра­бо­лы и ока­зы­ва­ет со­про­тив­ле­ние дви­же­нию. Боль­шин­ство же ша­ров от­ра­жа­ет­ся от боль­шой па­ра­бо­лы, про­хо­дит через фо­кус, за­тем от­ра­жа­ет­ся от ма­лень­кой па­ра­бо­лы и ухо­дит па­рал­лель­но из­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию. В ред­кой сре­де Нью­то­на та­кие ша­ры не уве­ли­чи­ва­ют со­про­тив­ле­ние те­ла — они не те­ря­ют вер­ти­каль­ную со­став­ля­ю­щую им­пуль­са, ухо­дят по­сле столк­но­ве­ния па­рал­лель­но из­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию, хо­тя и сме­ща­ют­ся от­но­си­тель­но него.

Ту часть кон­струк­ции, от ко­то­рой от­ра­жа­ют­ся ша­ры, мож­но умень­шать, не ме­няя ос­нов­ной идеи.

Про­вра­ща­ем кон­струк­цию из двух па­ра­бол во­круг вер­ти­каль­ной оси. По­лу­чим некий вид ле­та­ю­щей та­рел­ки. Ес­ли по­смот­реть на неё свер­ху, то пло­щадь, за­ни­ма­е­мая та­кой та­рел­кой, очень боль­шая. А вот пло­щадь, на ко­то­рой воз­ни­ка­ет со­про­тив­ле­ние, мож­но сде­лать сколь угод­но ма­лой. При дви­же­нии вдоль сво­ей оси вра­ще­ния та­кой ап­па­рат в ред­кой сре­де Нью­то­на бу­дет иметь сколь угод­но ма­лое со­про­тив­ле­ние.

А бы­ва­ют ли те­ла со­всем без со­про­тив­ле­ния? Ока­зы­ва­ет­ся, бы­ва­ют и та­кие!

Кон­струк­ция ос­но­ва­на на тре­уголь­ни­ке с уг­ла­ми 30, 30 и 120 гра­ду­сов. Возь­мём на рас­сто­я­нии двух вы­сот сим­мет­рич­ный от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси та­кой же тре­уголь­ник.

По­смот­рим, что про­ис­хо­дит, ко­гда эта плос­кая кон­струк­ция дви­жет­ся в на­прав­ле­нии оси сим­мет­рии в ред­кой сре­де Нью­то­на. С неко­то­ры­ми ша­ра­ми она во­об­ще не стал­ки­ва­ет­ся, и они не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на дви­же­ние. Те же ша­ры, с ко­то­ры­ми она стал­ки­ва­ет­ся, от­ра­жа­ют­ся все­гда от обо­их тре­уголь­ни­ков и ухо­дят по на­прав­ле­нию, па­рал­лель­но­му оси сим­мет­рии, без из­ме­не­ния век­то­ра им­пуль­са. Та­ким об­ра­зом, в мо­де­ли Нью­то­на со­про­тив­ле­ние те­ла, по­лу­чен­но­го вра­ще­ни­ем та­кой кон­струк­ции во­круг оси, рав­но ну­лю!

Чтобы про­сле­дить за тра­ек­то­ри­я­ми ша­ри­ков — ча­стиц сре­ды, — их пу­ти изоб­ра­жа­лись в ви­де лу­ча. Но ведь имен­но по этой тра­ек­то­рии бу­дет рас­про­стра­нять­ся и оп­ти­че­ский луч! Ес­ли по­след­нюю кон­струк­цию из двух тре­уголь­ни­ков сде­лать из зер­кал, то в ча­сти изоб­ра­же­ния, ко­то­рое мы бу­дем ви­деть через неё, по­ме­ня­ют­ся пра­вая и ле­вая сто­ро­ны. Но ес­ли взять ещё од­ну та­кую же кон­струк­цию из двух тре­уголь­ни­ков и при­ста­вить свер­ху, то по­лу­чив­ша­я­ся оп­ти­че­ская си­сте­ма уже не бу­дет ни ис­крив­лять лу­чи, ни пе­ре­став­лять их.

Про­вра­ща­ем плос­кую кон­струк­цию с на­не­сён­ным зер­каль­ным по­кры­ти­ем на внут­рен­них сто­ро­нах во­круг оси сим­мет­рии. По­лу­чим те­ло, ко­то­рое сна­ру­жи — ци­линдр, а внут­ри со­сто­ит из че­ты­рёх зер­каль­ных ко­ну­сов.

Та­кая кон­струк­ция не от­кло­ня­ет лу­чи, ко­то­рые по­па­да­ют в ци­линдр па­рал­лель­но оси его сим­мет­рии. А зна­чит, ес­ли отой­ти до­ста­точ­но да­ле­ко и по­смот­реть вдоль оси, он бу­дет по­чти неви­дим. По­чти, по­то­му что в дей­стви­тель­но­сти лу­чи, иду­щие в ци­линдр и по­па­да­ю­щие в глаз на­блю­да­те­лю, лишь по­чти па­рал­лель­ны. Неви­ди­мым в на­прав­ле­нии оси он бу­дет из бес­ко­неч­но уда­лён­ной точ­ки.

В ра­бо­тах А. Ю. Пла­хо­ва и его уче­ни­ков пред­ло­же­но мно­го ин­те­рес­ных кон­струк­ций, свя­зан­ных с неви­ди­мо­стью тел. Сре­ди них те­ла, неви­ди­мые из ко­неч­ной точ­ки на­блю­де­ния; трёх­мер­ные те­ла, неви­ди­мые в трёх пер­пен­ди­ку­ляр­ных на­прав­ле­ни­ях. В то же вре­мя оста­ёт­ся боль­шое чис­ло от­кры­тых во­про­сов. На­при­мер, су­ще­ству­ют ли те­ла, неви­ди­мые в двух непер­пен­ди­ку­ляр­ных на­прав­ле­ни­ях; ка­ко­во мак­си­маль­но воз­мож­ное чис­ло на­прав­ле­ний неви­ди­мо­сти.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке