Хо­ро­шая кон­струк­ция

Карл Гу­став Яко­би жил в пер­вой по­ло­вине XIX ве­ка. Для сво­их есте­ствен­но­на­уч­ных ис­сле­до­ва­ний он раз­ра­бо­тал си­сте­му ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов, ко­то­рые по­том по­лу­чи­ли его имя. При за­дан­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров $\alpha$ и $\beta$ (боль­ших чем $-1$) мно­го­член Яко­би $P_{k}^{(\alpha, \beta)}$ яв­ля­ет­ся мно­го­чле­ном сте­пе­ни $k$ и име­ет столь­ко же ну­лей на от­рез­ке $[-1,1]$.

По­ня­тие ор­то­го­наль­но­сти, т.е. пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти, пе­ре­ко­че­ва­ло из гео­мет­рии и в дру­гие об­ла­сти ма­те­ма­ти­ки. Ес­ли два век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то их ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние рав­но ну­лю. По ана­ло­гии, два мно­го­чле­на на­зы­ва­ют­ся ор­то­го­наль­ны­ми, ес­ли их ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние рав­но ну­лю. Толь­ко в на­шем слу­чае под ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем по­ни­ма­ет­ся ин­те­грал по от­рез­ку $[-1,1]$ от про­из­ве­де­ния рас­смат­ри­ва­е­мых мно­го­чле­нов, умно­жен­но­го на спе­ци­аль­ную функ­цию, на­зы­ва­е­мую ве­сом.

Си­сте­мы ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов иг­ра­ют боль­шую роль в са­мой ма­те­ма­ти­ке и в при­клад­ных во­про­сах. Воз­ни­ка­ю­щие в про­цес­се ис­сле­до­ва­ния функ­ции, свой­ства ко­то­рых необ­хо­ди­мо изу­чить, мож­но с той или иной сте­пе­нью точ­но­сти при­бли­зить ли­ней­ной ком­би­на­ци­ей рас­смат­ри­ва­е­мых ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов. Да­лее мож­но изу­чать уже по­ве­де­ние не са­мой функ­ции, а при­бли­жа­ю­щей кон­струк­ции, что за­ча­стую су­ще­ствен­но про­ще и удоб­нее.

Изу­че­ние ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов и их свойств — это боль­шой и ин­те­рес­ный раз­дел ма­те­ма­ти­ки, име­ю­щий и важ­ное при­клад­ное зна­че­ние.

Как это за­ча­стую бы­ва­ет в на­у­ке, неко­гда вы­ду­ман­ная хо­ро­шая кон­струк­ция на­хо­дит ин­те­рес­ные при­ме­не­ния в раз­лич­ных во­про­сах. Так и мно­го­чле­ны Яко­би, а точ­нее, их ну­ли, ока­за­лись ре­ше­ни­ем важ­ной за­да­чи, воз­ник­шей су­ще­ствен­но позд­нее, неже­ли бы­ли вве­де­ны са­ми рас­смат­ри­ва­е­мые мно­го­чле­ны.

Пусть на кон­цах от­рез­ка $[-1,1]$ за­креп­ле­ны по­ло­жи­тель­ные за­ря­ды ве­ли­чи­ны $q$ и $p$. Внут­ри от­рез­ка слу­чай­ным об­ра­зом по­ме­сти­ли $k$ еди­нич­ных за­ря­дов, ко­то­рые мо­гут сво­бод­но пе­ре­ме­щать­ся по нему, но по­ки­дать от­ре­зок им за­пре­ще­но. Так как за­ря­ды оди­на­ко­во­го зна­ка, то они ста­ра­ют­ся раз­бе­жать­ся как мож­но даль­ше друг от дру­га. Как рас­по­ло­жат­ся за­ря­ды, пы­та­ясь ми­ни­ми­зи­ро­вать по­тен­ци­аль­ную энер­гию си­сте­мы? В на­хож­де­нии оп­ти­маль­но­го рас­по­ло­же­ния, ко­гда си­лы, дей­ству­ю­щие на каж­дый за­ряд спра­ва и сле­ва, рав­ны, и со­сто­ит за­да­ча.

Для зна­ком­ства с за­да­чей рас­смот­рим част­ные слу­чаи.

Пусть на ле­вом кон­це от­рез­ка за­креп­лен за­ряд, рав­ный 3, а на пра­вом — рав­ный 5. По­ста­вим в про­из­воль­ные точ­ки три еди­нич­ных за­ря­да, име­ю­щих воз­мож­ность сво­бод­но пе­ре­ме­щать­ся по от­рез­ку, и по­смот­рим на по­ве­де­ние си­сте­мы. Ко­гда дви­же­ние оста­но­вит­ся, на­ри­су­ем на том же от­рез­ке гра­фик мно­го­чле­на Яко­би $P_{3}^{(9, 5)}$. Ока­зы­ва­ет­ся, что за­ря­ды оста­но­ви­лись в ну­лях это­го мно­го­чле­на!

Да­вай­те про­экс­пе­ре­мен­ти­ру­ем ещё раз. За­фик­си­ру­ем на ле­вом кон­це за­ряд, рав­ный 3, а на пра­вом — рав­ный 2. По­ме­стим внут­ри от­рез­ка че­ты­ре еди­нич­ных за­ря­да и по­на­блю­да­ем за си­сте­мой. Ко­гда за­ря­ды пе­ре­ста­нут дви­гать­ся, они ока­жут­ся в ну­лях мно­го­чле­на Яко­би $P_{4}^{(3, 5)}$.

В об­щем слу­чае на­блю­да­е­мая за­ви­си­мость то­же вер­на. Ес­ли на ле­вом кон­це от­рез­ка $[-1,1]$ на­хо­дит­ся за­ряд, рав­ный $q$, а на пра­вом — рав­ный $p$, меж­ду ни­ми на­хо­дят­ся $k$ еди­нич­ных за­ря­дов, то ми­ни­мум по­тен­ци­аль­ной энер­гии та­кой си­сте­мы бу­дет до­сти­гать­ся, ес­ли «внут­рен­ние» за­ря­ды бу­дут рас­по­ло­же­ны в ну­лях мно­го­чле­на Яко­би $P_{k}^{(2p-1, 2q-1)}$.

Вот так неко­гда при­ду­ман­ная си­сте­ма ор­то­го­наль­ных мно­го­чле­нов Яко­би воз­ник­ла при ре­ше­нии за­да­чи из со­вер­шен­но дру­гой есте­ствен­но-на­уч­ной об­ла­сти. А так­же про­яв­ля­ет свои свой­ства и во мно­гих дру­гих за­да­чах, как и лю­бая «хо­ро­шая кон­струк­ция».

Ли­те­ра­ту­ра

Г. Се­гё. Ор­то­го­наль­ные мно­го­чле­ны. М.: Физ­мат­лит, 1962.

Обсуждение (сообщений: 5)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке