Ка­лей­до­скоп

Зна­ко­мая с дет­ства кар­тин­ка. Ка­лей­до­скоп. На­зва­ние про­ис­хо­дит от древ­не­гре­че­ских слов καλός — кра­си­вый, εἶδος — вид, σκοπέω — смот­рю, на­блю­даю. Этот оп­ти­че­ский при­бор-иг­руш­ка был изоб­ре­тён учё­ным-физи­ком в на­ча­ле XIX ве­ка и быст­ро стал лю­би­мой за­ба­вой во мно­гих стра­нах, вклю­чая Рос­сию.

Те, кто в ис­сле­до­ва­тель­ских це­лях раз­би­рал в дет­стве ка­лей­до­скоп, пом­нят, что внут­ри ци­лин­дри­че­ской ту­бы рас­по­ло­же­ны три зер­ка­ла в ви­де длин­ных пря­мо­уголь­ни­ков. Они об­ра­зу­ют зер­каль­ную тре­уголь­ную приз­му. За тре­уголь­ни­ком в ос­но­ва­нии приз­мы, ко­то­рый бу­дем на­зы­вать фун­да­мен­таль­ным, рас­по­ло­жен объ­ём, в ко­то­ром при вра­ще­нии ка­лей­до­ско­па пе­ре­сы­па­ют­ся мел­кие раз­но­цвет­ные пред­ме­ты, со­став­ляя слу­чай­ную кар­тин­ку. Об­ра­зо­вав­ша­я­ся в фун­да­мен­таль­ном тре­уголь­ни­ке кар­тин­ка от­ра­жа­ет­ся в зер­ка­лах и кра­си­вым об­ра­зом за­пол­ня­ет всю плос­кость изоб­ра­же­ния.

Для каж­до­го че­ло­ве­ка сло­ва «кра­си­вым об­ра­зом» зна­чат что-то своё, тем не ме­нее, по­про­бу­ем вы­де­лить ка­кие-то ма­те­ма­ти­че­ские свой­ства в об­ра­зу­ю­щем­ся в ка­лей­до­ско­пе изоб­ра­же­нии.

Кар­тин­ка, об­ра­зу­ю­ща­я­ся в фун­да­мен­таль­ном тре­уголь­ни­ке в кон­крет­ный мо­мент, ко­неч­но же, вли­я­ет на кра­со­ту об­ще­го изоб­ра­же­ния, но она слу­чай­ная и ме­ня­ет­ся при вра­ще­нии, а зна­чит, от неё на­ши рас­суж­де­ния за­ви­сеть не долж­ны. За­ме­ним её на бо­лее про­стую, ма­те­ма­ти­че­ски свя­зан­ную с са­мим фун­да­мен­таль­ным тре­уголь­ни­ком — три раз­но­цвет­ные стрел­ки оди­на­ко­вой дли­ны, от­ло­жен­ные от цен­тра тре­уголь­ни­ка пер­пен­ди­ку­ляр­но зер­ка­лам.

«Кра­со­та» изоб­ра­же­ния в ка­лей­до­ско­пе за­ви­сит от то­го, ка­кой фун­да­мен­таль­ный тре­уголь­ник от­ра­жа­ет­ся в зер­ка­лах. По­лу­ча­ю­ща­я­ся кар­ти­на долж­на за­пол­нять всю плос­кость, раз­лич­ные ко­пии-от­ра­же­ния фун­да­мен­таль­но­го тре­уголь­ни­ка не долж­ны на­кла­ды­вать­ся друг на дру­га, со­зда­вая ме­ша­ни­ну, не долж­ны об­ре­зать­ся. Ну а глав­ная ха­рак­те­ри­сти­ка «пра­виль­но­го» ка­лей­до­ско­па  — изоб­ра­же­ние, по­лу­чив­ше­е­ся по­сле от­ра­жё­ния в зер­ка­лах, на­блю­да­тель дол­жен ви­деть как ре­аль­ный объ­ект: ес­ли сме­щать­ся от­но­си­тель­но зер­кал, то изоб­ра­же­ние не долж­но из­ме­нять­ся.

Ка­ки­ми мо­гут быть уг­лы фун­да­мен­таль­но­го тре­уголь­ни­ка (уг­лы меж­ду зер­ка­ла­ми), чтобы вы­пол­ня­лись сфор­му­ли­ро­ван­ные свой­ства?

В са­мом рас­про­стра­нён­ном ти­пе ка­лей­до­ско­пов тре­уголь­ник в ос­но­ва­нии приз­мы — рав­но­сто­рон­ний, с уг­ла­ми $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$. Это удоб­но и с про­из­вод­ствен­ной точ­ки зре­ния — все зер­ка­ла оди­на­ко­вые. Воз­мож­ны ли ка­кие-то дру­гие на­бо­ры уг­лов?

По­про­бу­ем сде­лать зер­каль­ную приз­му с ос­но­ва­ни­ем в ви­де про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка. По­сле от­ра­же­ний на­блю­да­тель бу­дет ви­деть мно­же­ство об­лом­ков кар­тин­ки, об­ра­зо­вав­шей­ся в фун­да­мен­таль­ном тре­уголь­ни­ке и в це­лом изоб­ра­же­ние кра­си­вым не бу­дет. Так что кра­си­вая кар­тин­ка — боль­шая уда­ча.

Кро­ме рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка с уг­ла­ми $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$ су­ще­ству­ют ещё толь­ко два тре­уголь­ни­ка, да­ю­щих кра­си­вую кар­тин­ку. Это пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки с уг­ла­ми $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ и $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$. Чтобы убе­дить­ся в этом, ма­те­ма­ти­че­ски по­стро­им изоб­ра­же­ние, воз­ни­ка­ю­щее в ка­лей­до­ско­пе.

Возь­мём стан­дарт­ный фун­да­мен­таль­ный тре­уголь­ник с уг­ла­ми $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$. Что с точ­ки зре­ния ма­те­ма­ти­ки зна­чит физи­че­ское от­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка в зер­ка­ле, со­дер­жа­щем его сто­ро­ну и пер­пен­ди­ку­ляр­ном его плос­ко­сти? Это до­бав­ле­ние к из­на­чаль­но­му тре­уголь­ни­ку сим­мет­рич­но­го ему от­но­си­тель­но сто­ро­ны, вдоль ко­то­рой рас­по­ло­же­но зер­ка­ло. Ес­ли бы у нас бы­ло од­но зер­ка­ло, то на этом всё бы и за­кон­чи­лось; об­щая кар­тин­ка со­сто­я­ла бы из фун­да­мен­таль­но­го тре­уголь­ни­ка и его об­ра­за в зер­ка­ле. Но в слу­чае ка­лей­до­ско­па все три сто­ро­ны фун­да­мен­таль­но­го тре­уголь­ни­ка зер­каль­ные, и, зна­чит, на­блю­да­тель за­ве­до­мо уви­дит сам фун­да­мен­таль­ный тре­уголь­ник и три его сим­мет­рич­ные от­но­си­тель­но сто­рон ко­пии. На са­мом же де­ле, как из­вест­но из прак­ти­ки, кар­тин­ка бу­дет го­раз­до боль­ше.

Де­ло в том, что от­ра­же­ния зер­ка­ла в зер­ка­ле сно­ва «ра­бо­та­ют» как зер­ка­ло. То есть при­ро­да про­дол­жа­ет сим­мет­рич­но от­ра­жать ко­пии тре­уголь­ни­ков от­но­си­тель­но их «вир­ту­аль­ных» сто­рон.

Вот уже воз­ни­ка­ет пер­вое усло­вие на фун­да­мен­таль­ный тре­уголь­ник: при по­сле­до­ва­тель­ных сим­мет­ри­ях от­но­си­тель­но всех его сто­рон, а за­тем сто­рон его ко­пий, об­ра­зы долж­ны за­мо­щать (по­кры­вать без на­ло­же­ний) всю плос­кость. При этом по­ря­док, в ко­то­ром про­из­во­дят­ся от­ра­же­ния при по­сле­до­ва­тель­ном по­стро­е­нии изоб­ра­же­ния, не дол­жен вли­ять на окон­ча­тель­ный ре­зуль­тат, — наш глаз ви­дит сра­зу все лу­чи, фор­ми­ру­ю­щие и от­ра­же­ния пер­во­го по­ряд­ка, и от­ра­же­ния вто­ро­го по­ряд­ка и т.д.

Изоб­ра­же­ние, на­блю­да­е­мое в тра­ди­ци­он­ном рав­но­уголь­ном ка­лей­до­ско­пе, дей­стви­тель­но сов­па­да­ет с по­лу­чен­ным рас­смот­рен­ным ма­те­ма­ти­че­ским спо­со­бом. И оно дей­стви­тель­но устой­чи­во: ес­ли по­ка­чать ка­лей­до­скоп, то изоб­ра­же­ние ме­нять­ся не бу­дет. Да­же в тех ме­стах, где реб­ро меж­ду зер­ка­ла­ми ка­лей­до­ско­па пе­ре­ме­ща­ет­ся от­но­си­тель­но ри­сун­ка, он оста­ет­ся по­сто­ян­ным вне за­ви­си­мо­сти от по­ло­же­ния ка­лей­до­ско­па и его рё­бер.

У ка­лей­до­ско­пов, по­стро­ен­ных на фун­да­мен­таль­ных тре­уголь­ни­ках с на­бо­ра­ми уг­лов $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ и $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$, все опи­сан­ные свой­ства так­же вы­пол­ня­ют­ся. А бы­ва­ют ли еще ка­кие-то слу­чаи?

Рас­смот­рим тре­уголь­ник с уг­ла­ми $120^\circ$—$30^\circ$—$30^\circ$. По сво­им гео­мет­ри­че­ским ха­рак­те­ри­сти­кам этот тре­уголь­ник вро­де под­хо­дит, от­ра­же­ния от­но­си­тель­но сто­рон да­ют за­мо­ще­ние плос­ко­сти. Но нач­нём от­ра­жать… Вни­ма­тель­ный зри­тель мо­жет за­ме­тить, что уже в от­ра­же­ни­ях пер­во­го по­ряд­ка — от­но­си­тель­но сто­рон са­мо­го фун­да­мен­таль­но­го тре­уголь­ни­ка — при­сут­ству­ет несты­ков­ка. Об­ра­зы, по­лу­чен­ные от­ра­же­ни­я­ми от­но­си­тель­но сто­рон, при­ле­га­ю­щих к уг­лу в $120^\circ$, не сим­мет­рич­ны друг дру­гу. Та­ким об­ра­зом, по­лу­ча­ю­ще­е­ся при ма­те­ма­ти­че­ском по­стро­е­нии изоб­ра­же­ние за­ви­сит от по­сле­до­ва­тель­но­сти, в ка­кой про­из­во­дят­ся от­ра­же­ния. Точ­нее, ес­ли учи­ты­вать все­воз­мож­ные от­ра­же­ния, то изоб­ра­же­ние бу­дет яв­лять­ся «сум­мой» из­на­чаль­ной кар­тин­ки и ее зер­каль­ной ко­пии.

Сюр­при­зы, пре­под­но­си­мые тре­уголь­ни­ком с уг­ла­ми $120^\circ$—$30^\circ$—$30^\circ$, на этом не за­кан­чи­ва­ют­ся. Ес­ли из­го­то­вить ка­лей­до­скоп с та­ки­ми уг­ла­ми, то на пер­вый взгляд ка­жет­ся, что в от­ли­чие от ма­те­ма­ти­че­ско­го по­стро­е­ния, го­во­ря­ще­го что кар­тин­ка бу­дет, хоть и хо­ро­шо, но на­кла­ды­вать­ся, по­лу­чен­ная оп­ти­че­ская си­сте­ма, да­ёт кра­си­вую кар­тин­ку. Од­на­ко это не так. Мож­но за­ме­тить, что да­же вы­бран­ная на­ми про­стей­шая кар­тин­ка в ви­де раз­но­цвет­ных стре­ло­чек, пер­пен­ди­ку­ляр­ных зер­ка­лам, от­ра­жа­ет­ся неоди­на­ко­во да­же при неболь­ших по­ряд­ках от­ра­же­ний. Где-то бли­жай­ши­ми к цен­трам об­ра­зо­вав­ших­ся ше­сти­уголь­ни­ков вид­ны стре­лоч­ки од­но­го цве­та, а где-то — дру­го­го. Ес­ли отой­ти по­даль­ше от фун­да­мен­таль­но­го тре­уголь­ни­ка, то на­чи­на­ют встре­чать­ся и дру­гие непри­ят­но­сти. Так что ре­аль­ная кар­тин­ка не сов­па­да­ет с пред­ска­зан­ной ма­те­ма­ти­че­ски. Де­ло в том, что изоб­ра­же­ние фор­ми­ру­ет­ся в каж­дом из зер­кал раз­дель­но по уже ука­зан­но­му прин­ци­пу «об­раз зер­ка­ла в зер­ка­ле, сно­ва ра­бо­та­ет как зер­ка­ло». Но изоб­ра­же­ние, фор­ми­ру­ю­ще­е­ся в од­ном из зер­кал, не пе­реот­ра­жа­ет­ся в дру­гом зер­ка­ле.

Ес­ли по­ка­чать ка­лей­до­скоп, по­стро­ен­ный на фун­да­мен­таль­ном тре­уголь­ни­ке с уг­ла­ми $120^\circ$—$30^\circ$—$30^\circ$, то вид­но, что кар­тин­ка за­ви­сит от вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния на­блю­да­те­ля и оси ка­лей­до­ско­па — при по­ка­чи­ва­нии изоб­ра­же­ние ме­ня­ет­ся око­ло реб­ра зер­каль­ной приз­мы.

В слу­чае же про­из­воль­но­го тре­уголь­ни­ка, ес­ли на­чать де­лать все­воз­мож­ные его от­ра­же­ния на плос­ко­сти, они бу­дут на­кла­ды­вать­ся друг на дру­га, и ни о ка­ком кра­си­вом изоб­ра­же­нии го­во­рить не при­хо­дит­ся. При по­стро­е­нии оп­ти­че­ской си­сте­мы в ви­де зер­каль­ной приз­мы над та­ким тре­уголь­ни­ком об­щее изоб­ра­же­ние бу­дет скла­ды­вать­ся из как-то пе­ре­ме­шан­ных об­лом­ков из­на­чаль­но­го изоб­ра­же­ния и не бу­дет ре­гу­ляр­ным.

Итак, ка­лей­до­скоп мож­но по­стро­ить, ис­поль­зуя в ка­че­стве ос­но­ва­ния приз­мы тре­уголь­ник с уг­ла­ми $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$, $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ или $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$. Как ма­те­ма­ти­че­ски по­нять, что тре­уголь­ник с уг­ла­ми $120^\circ$—$30^\circ$—$30^\circ$, под­хо­дя­щий гео­мет­ри­че­ски для за­мо­ще­ния плос­ко­сти с ис­поль­зо­ва­ни­ем сим­мет­рий, не под­хо­дит для по­стро­е­ния ка­лей­до­ско­па? Все ли воз­мож­ные тре­уголь­ни­ки уже пе­ре­чис­ле­ны?

Опи­сан­ные усло­вия на по­лу­ча­ю­ще­е­ся в ка­лей­до­ско­пе изоб­ра­же­ние мож­но сфор­му­ли­ро­вать бо­лее точ­но: тре­уголь­ник в ос­но­ва­нии дол­жен иметь уг­лы $\frac{180^\circ}{k}$, $\frac{180^\circ}{m}$, $\frac{180^\circ}{n}$, где $k$, $m$, $n$ — на­ту­раль­ные чис­ла, при­чём $\frac{180^\circ}{k}+\frac{180^\circ}{m}+\frac{180^\circ}{n}=180^\circ$. Ес­ли не учи­ты­вать по­ря­док, то един­ствен­ны­ми ре­ше­ни­я­ми $\{k, m, n\}$ это­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся трой­ки $\{3, 3, 3\}$, $\{2, 4, 4\}$ и $\{2, 6, 3\}$, да­ю­щие уже хо­ро­шо зна­ко­мые на­бо­ры уг­лов $60^\circ$—$60^\circ$—$60^\circ$, $90^\circ$—$45^\circ$—$45^\circ$ и $90^\circ$—$30^\circ$—$60^\circ$. Дру­гих «ка­лей­до­скоп­ных» тре­уголь­ни­ков не бы­ва­ет.

Ес­ли в ос­но­ва­нии зер­каль­ной приз­мы ис­поль­зо­вать не тре­уголь­ник, а про­из­воль­ный мно­го­уголь­ник, то пра­виль­ный ка­лей­до­скоп по­лу­ча­ет­ся ещё лишь при ис­поль­зо­ва­нии че­ты­рёх зер­кал, по­став­лен­ных по сто­ро­нам пря­мо­уголь­ни­ка.

При­ве­дён­ные рас­суж­де­ния о прин­ци­пе устрой­ства ка­лей­до­ско­па яв­ля­ют­ся на­ча­лом очень ин­те­рес­ной об­ла­сти ма­те­ма­ти­ки — тео­рии групп, по­рож­дён­ных от­ра­же­ни­я­ми.

Ли­те­ра­ту­ра

Вин­берг Э. Б. Ка­лей­до­ско­пы и груп­пы от­ра­же­ний // Ма­те­ма­ти­че­ское про­све­ще­ние. Се­рия 3. 2003. Вып. 7. С. 45—63.

Другие этюды раздела «Другие интересные темы»6