Три­сек­ция уг­ла

За­да­ча о три­сек­ции уг­ла со­сто­ит в том, чтобы раз­де­лить дан­ный угол на три рав­ные ча­сти.

Вме­сте с ещё дву­мя клас­си­че­ски­ми за­да­ча­ми на по­стро­е­ние — удво­е­ни­ем ку­ба и квад­ра­ту­рой кру­га — за­да­ча о три­сек­ции уг­ла при­шла из Древ­ней Гре­ции и на про­тя­же­нии мно­гих сто­ле­тий за­ни­ма­ла умы лю­дей. Неод­но­крат­но пы­та­лись ре­шить эти три за­да­чи с по­мо­щью освя­щён­ных ев­кли­до­вой гео­мет­ри­ей ин­стру­мен­тов — цир­ку­ля и ли­ней­ки. Меж­ду тем, уже в древ­но­сти ма­те­ма­ти­ки до­га­да­лись, что при ис­поль­зо­ва­нии толь­ко цир­ку­ля и ли­ней­ки эти за­да­чи нераз­ре­ши­мы, а позд­нее это бы­ло и до­ка­за­но. По­пыт­ки рас­ши­рить ин­стру­мен­та­рий ока­за­ли боль­шое вли­я­ние на древ­не­гре­че­скую ма­те­ма­ти­ку, при­ве­ли и к пер­вым ис­сле­до­ва­ни­ям ко­ни­че­ских се­че­ний, и к ис­сле­до­ва­нию слож­ных кри­вых, и к по­стро­е­нию ин­те­рес­ных ин­стру­мен­тов.

Рас­смот­рим шар­нир­ный ме­ха­низм, яв­ля­ю­щий­ся па­рал­ле­ло­грам­мом с дву­мя за­креп­лён­ны­ми шар­ни­ра­ми. Из кур­са школь­ной ма­те­ма­ти­ки вы помни­те, что про­ти­во­по­лож­ные уг­лы па­рал­ле­ло­грам­ма рав­ны. Это вер­но для лю­бо­го па­рал­ле­ло­грам­ма, а зна­чит, и для лю­бо­го из­ги­ба­ния на­ше­го ме­ха­низ­ма.

А для лю­бо­го ли из­ги­ба­ния?

У на­шей си­сте­мы есть од­на осо­бая «точ­ка» — ко­гда все зве­нья ло­жат­ся на од­ну пря­мую. Из этой точ­ки би­фур­ка­ции ме­ха­низм мо­жет вый­ти, сно­ва став па­рал­ле­ло­грам­мом, а мо­жет пе­рей­ти в фигу­ру, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся ан­ти­па­рал­ле­ло­грамм.

Аль­фред Брей Кем­пе (Alfred Bray Kempe, 1849—1922) — англи­ча­нин, адво­кат по про­фес­сии, ма­те­ма­тик по приз­ва­нию. В 1879 го­ду пуб­ли­ку­ет ре­ше­ние проб­ле­мы че­ты­рёх кра­сок. Ко­ро­лев­ское ма­те­ма­ти­чес­кое об­щес­тво тот­час же из­би­ра­ет его сво­им чле­ном, позд­нее он воз­ве­дён в ры­цар­ское зва­ние за вклад в раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки. В «до­ка­за­тель­ство» Кем­пе ве­ри­ли 11 лет. Но в 1890 го­ду Пер­си Хи­вуд пуб­ли­ку­ет ра­бо­ту, по­тряс­шую ма­те­ма­ти­чес­кий мир: он ука­зал прин­ци­пи­аль­ную ошиб­ку в рас­суж­де­ни­ях Кем­пе. Од­на­ко неко­то­рые идеи его «до­ка­за­тель­ства» бы­ли пра­виль­ные и через век бы­ли ис­поль­зо­ва­ны в ком­пью­тер­ном до­ка­за­тель­стве про­бле­мы.

Имен­но в этой осо­бен­но­сти рас­смат­ри­ва­е­мо­го шар­нир­но­го ме­ха­низ­ма и за­клю­ча­лась ошиб­ка в рас­суж­де­ни­ях Аль­фре­да Кем­пе, «до­ка­зав­ше­го» в 1876 го­ду тео­ре­му о том, что су­ще­ству­ет шар­нир­ный ме­ха­низм, ко­то­рый уме­ет под­де­лы­вать ва­шу под­пись и ни­че­го кро­ме неё ри­со­вать не уме­ет. Бо­лее точ­но — что лю­бая огра­ни­чен­ная часть плос­кой ал­геб­ра­и­че­ской кри­вой яв­ля­ет­ся тра­ек­то­ри­ей шар­ни­ра неко­то­ро­го плос­ко­го шар­нир­но­го ме­ха­низ­ма. Са­ма тео­ре­ма вер­на, од­на­ко ошиб­ку в до­ка­за­тель­стве Кем­пе на­шли лишь в 1984 го­ду и ис­пра­ви­ли толь­ко к кон­цу XX ве­ка.

От па­рал­ле­ло­грам­ма ан­ти­па­рал­ле­ло­грамм уна­сле­до­вал то, что две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны рав­ны меж­ду со­бой, и две на­крест ле­жа­щие сто­ро­ны так­же рав­ны меж­ду со­бой. Ока­зы­ва­ет­ся, у на­шей фигу­ры есть и со­от­но­ше­ние на уг­лы — у ан­ти­па­рал­ле­ло­грам­ма они по­пар­но рав­ны!

При­ба­вим к на­ше­му ан­ти­па­рал­ле­ло­грам­му бо­лее ма­лень­кий, но по­доб­ный пер­во­му. У них есть один об­щий угол, а зна­чит, уг­лы при крас­ном шар­ни­ре то­же рав­ны.

Вы­тя­ги­вая на­прав­ля­ю­щие пря­мые, по­лу­ча­ем плос­кий шар­нир­ный ме­ха­низм, ко­то­рый мож­но при­ме­нять для по­стро­е­ния бис­сек­три­сы лю­бо­го уг­ла.

Мож­но при­ба­вить ещё один по­доб­ный ан­ти­па­рал­ле­ло­грамм. По тем же со­об­ра­же­ни­ям его угол при крас­ном шар­ни­ре бу­дет ра­вен уже двум име­ю­щим­ся.

По­лу­чив­ший­ся плос­кий шар­нир­ный ме­ха­низм яв­ля­ет­ся три­сек­то­ром уг­лов — ре­ша­ет за­да­чу о де­ле­нии про­из­воль­но­го уг­ла на три рав­ные ча­сти!   

На этом Кем­пе оста­нав­ли­ва­ет­ся, так как для его «до­ка­за­тель­ства» тео­ре­мы «о под­пи­си» ну­жен был ме­ха­низм, де­ля­щий угол имен­но на три ча­сти. Од­на­ко, оче­вид­но, ис­поль­зо­ван­ный ал­го­ритм по­стро­е­ния мож­но про­дол­жать и даль­ше, по­лу­чая шар­нир­ные ме­ха­низ­мы, точ­но де­ля­щие про­из­воль­ный угол на лю­бое на­пе­рёд за­дан­ное чис­ло ча­стей.

Ли­те­ра­ту­ра

Alfred Bray Kempe. How to draw a straight line: a lecture on linkages. Macmillan & Co., 1877.

Erik D. Demaine, Joseph O'Rourke. Geometric folding algorithms: linkages, origami, polyhedra. Cambridge Univ. Press, 2007. P. 31—33.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»6

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке