И это раз­вёрт­ка?!

Ка­ко­го толь­ко ви­да не бы­ва­ют раз­вёрт­ки са­мых при­выч­ных для нас мно­го­гран­ни­ков. Но неуже­ли из это­го кус­ка кар­то­на мож­но сло­жить пра­виль­ный тет­ра­эдр?

Раз­ло­жим тет­ра­эдр в са­мую при­выч­ную раз­вёрт­ку.

Про­ве­дём от­ре­зок из уг­ла боль­шо­го тре­уголь­ни­ка к се­ре­дине про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны (вер­шине ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра) и раз­ре­жем по нему наш ку­сок кар­то­на. По­вер­нём часть раз­вёрт­ки во­круг точ­ки, от­ве­ча­ю­щей вер­шине тет­ра­эд­ра. При этом мы скле­им два реб­ра, но в из­на­чаль­ном тет­ра­эд­ре они бы­ли ров­но так же скле­е­ны, по­это­му усло­вия склей­ки гра­ниц на­шей раз­вёрт­ки мы не на­ру­ши­ли. Но те­перь у нас до­ба­вил­ся ку­со­чек гра­ни­цы, ко­то­ро­го не бы­ло в ис­ход­ной раз­вёрт­ке. Обо­зна­чим это «фаль­ши­вое» реб­ро крас­ным цве­том.

Да­вай­те по­вто­рим опе­ра­цию ещё раз.

Опять про­ве­дём от­ре­зок из уг­ла к се­ре­дине про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны и раз­ре­жем по нему. Сде­ла­ем по­во­рот и склей­ку. По­лу­чил­ся тот са­мый ку­сок кар­то­на, с ко­то­ро­го мы на­ча­ли фильм!

Да­вай­те убе­дим­ся, что по­лу­чив­ший­ся ку­сок кар­то­на яв­ля­ет­ся раз­верт­кой ис­ход­но­го мно­го­гран­ни­ка. В ле­вой ча­сти тре­уголь­ни­ка есть кус­ки, ко­то­рые мы не пе­ре­кла­ды­ва­ли с са­мо­го на­ча­ла. Один из ма­лень­ких тре­уголь­нич­ков со­от­вет­ству­ет ча­сти ос­но­ва­ния ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра. Сов­ме­стим их.

А те­перь бу­дем «на­ма­ты­вать» на­шу фигу­ру на тет­ра­эдр. Как ви­дим, всё схо­дит­ся!

Все от­рез­ки крас­ных — «фаль­ши­вых» — рё­бер ока­за­лись со­еди­ня­ю­щи­ми тре­уголь­ни­ки, ле­жа­щие в од­ной плос­ко­сти, и, зна­чит, по­сле склей­ки эти рёб­ра про­па­дут. А те от­рез­ки, что бы­ли по­кра­ше­ны в жёл­тый цвет, ло­жат­ся на рёб­ра тет­ра­эд­ра и яв­ля­ют­ся на­сто­я­щи­ми рёб­ра­ми.

На во­прос, мож­но ли из дан­но­го кус­ка кар­то­на сло­жить вы­пук­лый мно­го­гран­ник, от­ве­ча­ет тео­ре­ма ве­ли­ко­го рус­ско­го гео­мет­ра Алек­сандра Да­ни­ло­ви­ча Алек­сан­дро­ва. Где бу­дут вер­ши­ны это­го мно­го­гран­ни­ка, мож­но по­нять. А вот как в об­щем слу­чае меж­ду вер­ши­на­ми прой­дут на­сто­я­щие рёб­ра, ма­те­ма­ти­ки до сих пор опре­де­лять не уме­ют. Но это уже дру­гая ис­то­рия, для дру­го­го Этю­да…

Ли­те­ра­ту­ра

Н. П. Дол­би­лин. Жем­чу­жи­ны тео­рии мно­го­гран­ни­ков. М.: МЦНМО, 2000.

Н. П. Дол­би­лин. Три тео­ре­мы о вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ках.
  Часть 1 // Квант. 2001. N 5. С. 7—12.
  Часть 2 // Квант. 2001. N 6. С. 3—10.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие этюды раздела «Внутренняя геометрия многогранников»3

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке