Круг­лый тре­уголь­ник Ре­ло

Про­ек­тор вось­ми­мил­ли­мет­ро­вой ки­но­плён­ки «Луч-2». Имен­но он был в каж­дом до­ме, где са­ми сни­ма­ли и смот­ре­ли ки­но­этю­ды.

В этом мульт­филь­ме рас­ска­зы­ва­ет­ся, как гео­мет­ри­че­ское по­ня­тие, ча­сто изу­ча­е­мое на ма­те­ма­ти­че­ских круж­ках, на­хо­дит при­ме­не­ние в на­шей по­все­днев­ной жиз­ни.

Ко­ле­со… Окруж­ность. Од­ним из свойств окруж­но­сти яв­ля­ет­ся ее по­сто­ян­ная ши­ри­на. Про­ве­дём две па­рал­лель­ные ка­са­тель­ные и за­фик­си­ру­ем рас­сто­я­ние меж­ду ни­ми. Нач­нём вра­щать. Кри­вая (в на­шем слу­чае окруж­ность) по­сто­ян­но ка­са­ет­ся обе­их пря­мых. Это и есть опре­де­ле­ние то­го, что за­мкну­тая кри­вая име­ет по­сто­ян­ную ши­ри­ну.

Бы­ва­ют ли кри­вые, от­лич­ные от окруж­но­сти и име­ю­щие по­сто­ян­ную ши­ри­ну?

РЕЛО Франц (Reuleaux Franz, 1829—1905) — не­мец­кий учё­ный. Впер­вые (1875) чёт­ко сфор­му­ли­ро­вал и из­ло­жил ос­нов­ные воп­ро­сы струк­ту­ры и ки­не­ма­ти­ки ме­ха­низ­мов; раз­ра­ба­ты­вал проб­ле­му эс­те­тич­нос­ти тех­ни­чес­ких объ­ек­тов.

Рас­смот­рим пра­виль­ный тре­уголь­ник (с рав­ны­ми сто­ро­на­ми). На каж­дой сто­роне по­стро­им ду­гу окруж­но­сти, ра­ди­у­сом, рав­ным длине сто­ро­ны. Эта кри­вая и но­сит имя «тре­уголь­ник Ре­ло». Ока­зы­ва­ет­ся, она то­же яв­ля­ет­ся кри­вой по­сто­ян­ной ши­ри­ны. Как и в слу­чае окруж­но­сти про­ве­дём две ка­са­тель­ные, за­фик­си­ру­ем рас­сто­я­ние меж­ду ни­ми и нач­нём их вра­щать. Тре­уголь­ник Ре­ло по­сто­ян­но ка­са­ет­ся обе­их пря­мых. Дей­стви­тель­но, од­на точ­ка ка­са­ния все­гда рас­по­ло­же­на в од­ном из «уг­лов» тре­уголь­ни­ка Ре­ло, а дру­гая — на про­ти­во­по­лож­ной ду­ге окруж­но­сти. Зна­чит, ши­ри­на все­гда рав­на ра­ди­у­су окруж­но­стей, т. е. длине сто­ро­ны из­на­чаль­но­го пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка.

В жи­тей­ском смыс­ле по­сто­ян­ная ши­ри­на кри­вой озна­ча­ет, что ес­ли сде­лать кат­ки с та­ким про­фи­лем, то книж­ка бу­дет ка­тить­ся по ним, не ше­лох­нув­шись.

Од­на­ко ко­ле­со с та­ким про­фи­лем сде­лать нель­зя, так как её центр опи­сы­ва­ет слож­ную ли­нию при ка­че­нии фигу­ры по пря­мой.

Бы­ва­ют ли ка­кие-то ещё кри­вые по­сто­ян­ной ши­ри­ны? Ока­зы­ва­ет­ся, их бес­ко­неч­но мно­го.

На лю­бом пра­виль­ном n-уголь­ни­ке с нечёт­ным чис­лом вер­шин мож­но по­стро­ить кри­вую по­сто­ян­ной ши­ри­ны по той же схе­ме, что был по­стро­ен тре­уголь­ник Ре­ло. Из каж­дой вер­ши­ны, как из цен­тра, про­во­дим ду­гу окруж­но­сти на про­ти­во­по­лож­ной вер­шине сто­роне. В Ан­глии мо­не­та в 20 пен­сов име­ет фор­му кри­вой по­сто­ян­ной ши­ри­ны, по­стро­ен­ной на се­ми­уголь­ни­ке.

Рас­смот­рен­ные кри­вые не ис­чер­пы­ва­ют весь класс кри­вых по­сто­ян­ной ши­ри­ны. Ока­зы­ва­ет­ся, сре­ди них бы­ва­ют и несим­мет­рич­ные кри­вые. Рас­смот­рим про­из­воль­ный на­бор пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых. Рас­смот­рим один из сек­то­ров. Про­ве­дём ду­гу окруж­но­сти про­из­воль­но­го ра­ди­у­са с цен­тром в точ­ке пе­ре­се­че­ния пря­мых, опре­де­ля­ю­щих этот сек­тор. Возь­мём со­сед­ний сек­тор, и с цен­тром в точ­ке пе­ре­се­че­ния пря­мых, опре­де­ля­ю­щих его, про­ве­дём окруж­ность. Ра­ди­ус под­би­ра­ет­ся та­кой, чтобы уже на­ри­со­ван­ный ку­сок кри­вой непре­рыв­но про­дол­жал­ся. Бу­дем так де­лать даль­ше. Ока­зы­ва­ет­ся, при та­ком по­стро­е­нии кри­вая за­мкнёт­ся и бу­дет иметь по­сто­ян­ную ши­ри­ну. До­ка­жи­те это!

Все кри­вые дан­ной по­сто­ян­ной ши­ри­ны име­ют оди­на­ко­вый пе­ри­метр. Окруж­ность и тре­уголь­ник Ре­ло вы­де­ля­ют­ся из все­го на­бо­ра кри­вых дан­ной ши­ри­ны сво­и­ми экс­тре­маль­ны­ми свой­ства­ми. Окруж­ность огра­ни­чи­ва­ет мак­си­маль­ную пло­щадь, а тре­уголь­ник Ре­ло — ми­ни­маль­ную в клас­се кри­вых дан­ной ши­ри­ны.

Тре­уголь­ник Ре­ло ча­сто изу­ча­ют на ма­те­ма­ти­че­ских круж­ках. Ока­зы­ва­ет­ся, что эта гео­мет­ри­че­ская фигу­ра име­ет ин­те­рес­ные при­ло­же­ния в ме­ха­ни­ке.

Смот­ри­те, это «Маз­да RX-7». В от­ли­чие от боль­шин­ства се­рий­ных ма­шин в ней (а так­же в мо­де­ли RX-8) сто­ит ро­тор­ный дви­га­тель Ван­ке­ля. Как же он устро­ен внут­ри? В ка­че­стве ро­то­ра ис­поль­зу­ет­ся имен­но тре­уголь­ник Ре­ло! Меж­ду ним и стен­ка­ми об­ра­зу­ют­ся три ка­ме­ры, каж­дая из ко­то­рых по оче­ре­ди яв­ля­ет­ся ка­ме­рой сго­ра­ния. Вот вспрыс­ну­лась си­няя бен­зи­но­вая смесь, да­лее из-за дви­же­ния ро­то­ра она сжи­ма­ет­ся, под­жи­га­ет­ся и кру­тит ро­тор. Ро­тор­ный дви­га­тель ли­шён неко­то­рых недо­стат­ков порш­не­во­го ана­ло­га — здесь вра­ще­ние пе­ре­да­ет­ся сра­зу на ось и не нуж­но ис­поль­зо­вать ко­лен­вал.

А это — грей­фер­ный ме­ха­низм. Он ис­поль­зо­вал­ся в ки­но­про­ек­то­рах. Дви­га­те­ли да­ют рав­но­мер­ное вра­ще­ние оси, а чтобы на экране бы­ло чёт­кое изоб­ра­же­ние, плён­ку ми­мо объ­ек­ти­ва на­до про­тя­нуть на один кадр, дать ей по­сто­ять, по­том опять рез­ко про­тя­нуть, и так 18 раз в се­кун­ду. Имен­но эту за­да­чу ре­ша­ет грей­фер­ный ме­ха­низм. Он ос­но­ван на тре­уголь­ни­ке Ре­ло, впи­сан­ном в квад­рат, и двой­ном па­рал­ле­ло­грам­ме, ко­то­рый не да­ёт квад­ра­ту на­кло­нять­ся в сто­ро­ны. Дей­стви­тель­но, так как дли­ны про­ти­во­по­лож­ных сто­рон рав­ны, то сред­нее зве­но при всех дви­же­ни­ях оста­ёт­ся па­рал­лель­ным ос­но­ва­нию, а сто­ро­на квад­ра­та — все­гда па­рал­лель­ной сред­не­му зве­ну. Чем бли­же ось креп­ле­ния к вер­шине тре­уголь­ни­ка Ре­ло, тем бо­лее близ­кую к квад­ра­ту фигу­ру опи­сы­ва­ет зуб­чик грей­фе­ра.

Вот та­кие ин­те­рес­ные при­ме­не­ния, ка­за­лось бы, чи­сто ма­те­ма­ти­че­ской за­да­чи ис­поль­зу­ют лю­ди.

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке