Уве­ли­че­ние объ­ё­ма вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков

Помни­те, как вы­гля­дел па­кет мо­ло­ка в со­вет­ское вре­мя? Уди­ви­тель­но, что вся стра­на по­ку­па­ла эти па­ке­ты по­чти каж­дый день на про­тя­же­нии бо­лее 20 лет, но ма­ло кто сей­час пом­нит точ­но, что на них бы­ло на­ри­со­ва­но...

Но все ко­неч­но пом­нят, что па­кет мо­ло­ка был в ви­де тет­ра­эд­ра (пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды). Изоб­ре­ла па­ке­ты в ви­де тет­ра­эд­ра фир­ма Тет­ра Пак (Tetra Pak) в 40-х го­дах XX ве­ка, от­ку­да и по­лу­чи­ла своё на­зва­ние. В те го­ды эта фир­ма сде­ла­ла два важ­ных но­во­вве­де­ния. Во-пер­вых, жид­кие про­дук­ты на­ча­ли на­ли­вать в кар­тон. Во-вто­рых, из­го­тов­ле­ние тет­ра­эд­раль­ных па­ке­тов бы­ло на­столь­ко про­стым, что его мож­но бы­ло осу­ществ­лять пря­мо на мо­ло­ко­за­во­дах.

Вот так вы­гля­дел наи­бо­лее рас­про­стра­нён­ный па­кет мо­ло­ка в Со­вет­ском Cою­зе: крас­ные и си­ние тре­уголь­ни­ки; в фор­ме тет­ра­эд­ра (ко­неч­но, с неболь­ши­ми ис­ка­же­ни­я­ми).

Мож­но ли из кус­ка кар­то­на, из ко­то­ро­го сде­лан этот мо­лоч­ный па­кет, сде­лать па­кет с бóльшим объ­ё­мом, чем сам тет­ра­эдр?

Ма­те­ма­ти­че­ски за­да­ча фор­му­ли­ру­ет­ся так: мож­но ли из раз­вёрт­ки тет­ра­эд­ра сде­лать мно­го­гран­ник с бóльшим объ­ё­мом?

Алек­сандр Да­ни­ло­вич Алек­сан­дров (1912—1999) — рос­сий­ский ма­те­ма­тик, ис­сле­до­вав­ший об­шир­ный круг воп­ро­сов, вк­лю­чая гео­мет­рию вы­пук­лых тел, те­орию ме­ры, те­орию диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний в част­ных про­из­вод­ных и ма­те­ма­ти­чес­кие ос­но­ва­ния тео­рии от­но­си­тель­нос­ти.

По тео­ре­ме А. Д. Алек­сан­дро­ва, вы­пук­лый мно­го­гран­ник с той же раз­вёрт­кой, но бóльшим объ­ё­мом сде­лать нель­зя. Но, мо­жет быть, мож­но сде­лать невы­пук­лый с бóльшим объ­ё­мом?

Уди­ви­тель­но, но ока­зы­ва­ет­ся что мож­но!

Да­вай­те про­сле­дим за кон­струк­ци­ей, пред­ло­жен­ной Дэ­ви­дом Бли­ке­ром в 1996 го­ду. Раз­ве­дём гра­ни и на каж­дой до­ба­вим до­пол­ни­тель­ные вер­ши­ны и рёб­ра. Возь­мём цен­траль­ный пра­виль­ный тре­уголь­ник, опре­де­лён­ный со­от­но­ше­ни­ем, что его сто­ро­на в два ра­за боль­ше рас­сто­я­ния от его вер­ши­ны до сто­ро­ны гра­ни. Про­ве­дём до­пол­ни­тель­ные рёб­ра.

Те же по­стро­е­ния сде­ла­ем на каж­дой гра­ни. Изо­гнём каж­дую грань сле­ду­ю­щим об­ра­зом: уг­лы и се­ре­ди­ны сто­рон в сто­ро­ну цен­тра, а цен­траль­ный тре­уголь­ни­чек — от цен­тра. Все гра­ни изо­гну­ты оди­на­ко­во, и их мож­но скле­ить в мно­го­гран­ник. Неко­то­рые но­вые гра­ни ле­жат в од­ной плос­ко­сти, и рёб­ра меж­ду ни­ми ис­че­за­ют.

Под­счи­та­ем объ­ём по­лу­чив­ше­го­ся мно­го­гран­ни­ка. Для это­го разо­бьём его на ча­сти. По­лу­чен­ный мно­го­гран­ник со­сто­ит из че­ты­рёх оди­на­ко­вых ше­сти­уголь­ных пи­ра­ми­док и фигу­ры, ко­то­рая яв­ля­ет­ся усе­чён­ным тет­ра­эд­ром. Чтобы про­ще по­счи­тать объ­ём, до­ба­вим усе­чён­ные у тет­ра­эд­ра уг­лы — ма­лень­кие тет­ра­эд­ры, а от по­лу­чив­ше­го­ся зна­че­ния объ­ё­ма от­ни­мем объ­ём до­бав­лен­ных ку­соч­ков.

Ока­зы­ва­ет­ся, что объ­ём по­лу­чен­но­го та­ким спо­со­бом мно­го­гран­ни­ка боль­ше чем на 37,7% пре­вос­хо­дит объ­ём из­на­чаль­но­го тет­ра­эд­ра, име­ю­ще­го ту же раз­вёрт­ку! Т.е. из кус­ка кар­то­на, из ко­то­ро­го де­ла­лись тет­ра­драль­ные па­ке­ты, мож­но де­лать па­ке­ты, ко­то­рые вме­сти­тель­нее бо­лее чем на треть!

Уди­ви­тель­но, но тет­ра­эдр не яв­ля­ет­ся ис­клю­че­ни­ем. Ока­зы­ва­ет­ся, что из раз­вёрт­ки лю­бо­го вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка с тре­уголь­ны­ми гра­ня­ми мож­но сде­лать невы­пук­лый мно­го­гран­ник с бóльшим объ­ё­мом. Эту тео­ре­му до­ка­зал в 1996 го­ду Д. Бли­кер и при­вёл ал­го­ритм, как это де­лать.

В сво­ей ста­тье, кро­ме мно­го­гран­ни­ков с тре­уголь­ны­ми гра­ня­ми, Д. Бли­кер рас­смот­рел два пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ка, не по­па­да­ю­щие в этот класс — куб и до­де­ка­эдр. Из их раз­вёр­ток так­же мож­но сло­жить невы­пук­лые мно­го­гран­ни­ки с бóльшим объ­ё­мом, чем у из­на­чаль­ных вы­пук­лых. В 2005 го­ду, ко­гда со­зда­вал­ся фильм, ма­те­ма­ти­ки ве­ри­ли, что вер­на

Ги­по­те­за

Из раз­вёрт­ки лю­бо­го вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка все­гда мож­но сло­жить невы­пук­лый мно­го­гран­ник с бóльшим объ­ё­мом.

Нере­шён­ные за­да­чи

До­ка­зать (или опро­верг­нуть) ги­по­те­зу.

На­сколь­ко боль­шим мо­жет быть объ­ём невы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка, сло­жен­но­го из раз­вёрт­ки тет­ра­эд­ра? Дру­го­го дан­но­го вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка?

Ле­том 2006 го­да, дву­мя ма­те­ма­ти­ка­ми — ас­пи­ран­том МГУ Гу­ри­ем Са­ма­ри­ным и Иго­рем Па­ком из MIT — неза­ви­си­мо друг от дру­га бы­ло до­ка­за­но, что ги­по­те­за вер­на. Усло­вие тре­уголь­но­сти гра­ней бы­ло лишь тех­ни­че­ским мо­мен­том, поз­во­лив­шем Бли­ке­ру до­ка­зать свою тео­ре­му, но в за­да­че оно не по су­ще­ству — тео­ре­ма вер­на и без это­го усло­вия. 

Ли­те­ра­ту­ра

David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry. 1996. V. 43. P. 505—526.

I. Pak. Inflating polyhedral surfaces.

Обсуждение (сообщений: 4)

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»4

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке