Вы­ход в про­стран­ство

совместно с Сергеем Маркеловым

Жи­вя на по­верх­но­сти Зем­ли, лю­ди дол­гое вре­мя счи­та­ли, что она плос­кая. По­на­до­би­лось по­стро­е­ние на­уч­ных тео­рий, чтобы до­га­дать­ся, что Зем­ля по­хо­жа на шар. И лишь во вто­рой по­ло­вине XX ве­ка лю­ди смог­ли по­смот­реть на Зем­лю из объ­ем­лю­ще­го про­стран­ства и убе­дить­ся во­очию.

Так же и в ма­те­ма­ти­ке: вый­дя в объ­ем­лю­щее про­стран­ство, за­ча­стую мож­но узнать мно­го ин­те­рес­но­го об объ­ек­те.

Рас­смот­рим три про­из­воль­ные окруж­но­сти и про­ве­дём по­пар­ные ка­са­тель­ные к каж­дой па­ре окруж­но­стей. Что мож­но ска­зать о по­лу­чен­ных трёх точ­ках, яв­ля­ю­щих­ся пе­ре­се­че­ни­ем ка­са­тель­ных, про­ве­дён­ных к двум окруж­но­стям? Су­дя по ри­сун­ку, они ле­жат на од­ной пря­мой. Од­на­ко ри­су­нок — это не до­ка­за­тель­ство, а лишь ин­фор­ма­ция для вы­ра­бот­ки ги­по­те­зы. По­про­бу­ем её до­ка­зать.

Рас­смат­ри­ва­е­мая за­да­ча и ри­су­нок к ней рас­по­ло­же­ны на плос­ко­сти. Да­вай­те по­смот­рим на эту плос­кость извне — из объ­ем­лю­ще­го трёх­мер­но­го про­стран­ства.

По­стро­им три сфе­ры, чьи­ми эк­ва­то­ра­ми яв­ля­ют­ся из­на­чаль­ные окруж­но­сти. Ко­ну­сы, по­пар­но охва­ты­ва­ю­щие сфе­ры, в ка­че­стве об­ра­зу­ю­щих бу­дут иметь ка­са­тель­ные, рас­смат­ри­ва­е­мые в за­да­че. Точ­ки, ко­то­рые по на­шей ги­по­те­зе ле­жат на од­ной пря­мой, бу­дут вер­ши­на­ми ко­ну­сов.

По­ло­жим на ко­ну­сы плос­кость. Верх­ние об­ра­зу­ю­щие ко­ну­сов по­пар­но пе­ре­се­ка­ют­ся и опре­де­ля­ют плос­кость од­но­знач­но. Ин­те­ре­су­ю­щие нас точ­ки — вер­ши­ны ко­ну­сов — при­над­ле­жат этой плос­ко­сти, так же, как и из­на­чаль­ной — «эк­ва­то­ри­аль­ной» плос­ко­сти. А две (непа­рал­лель­ные) плос­ко­сти пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой! Зна­чит, дей­стви­тель­но, как и бы­ло пред­по­ло­же­но, эти три точ­ки — точ­ки пе­ре­се­че­ния по­пар­ных ка­са­тель­ных к трём про­из­воль­ным окруж­но­стям — ле­жат на од­ной пря­мой.

Эта те­перь уже до­ка­зан­ная и на­ми тео­ре­ма но­сит имя фран­цуз­ско­го ма­те­ма­ти­ка Гас­па­ра Мон­жа.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке