Уди­ви­тель­ные объ­ё­мы мно­го­гран­ни­ков

Видео

00:00|00:00

Мож­но ли из оди­на­ко­вых гра­ней сло­жить вы­пук­лый и невы­пук­лый мно­го­гран­ни­ки? Ко­неч­но, мож­но, ска­же­те вы. Один из при­ме­ров при­ве­дён на этом ри­сун­ке.

Мно­го­гран­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, ес­ли он ле­жит по од­ну сто­ро­ну от плос­кос­ти, со­дер­жа­щей лю­бую из его гра­ней.

Мно­го­гран­ник на­зыв­ает­ся не­вы­пук­лым, ес­ли у него су­щес­тву­ет та­кая грань, что мно­го­гран­ник ока­зы­ва­ет­ся по обе сто­ро­ны от плос­кос­ти, со­дер­жа­щей эту грань.

Пусть из оди­на­ко­вых на­бо­ров гра­ней уда­лось сло­жить вы­пук­лый и невы­пук­лый мно­го­гран­ник. У ко­то­ро­го из них объ­ём бу­дет боль­ше?

Ока­зы­ва­ет­ся мож­но так по­до­брать гра­ни, что объ­ём невы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка бу­дет боль­ше объ­ё­ма вы­пук­ло­го, со­став­лен­но­го из тех же гра­ней. В филь­ме рас­ска­зы­ва­ет­ся о наи­луч­шем из­вест­ном та­ком при­ме­ре.

Рас­смот­рим два тре­уголь­ни­ка (точ­ные дли­ны сто­рон бу­дут ука­за­ны в кон­це филь­ма), ко­то­рые и бу­дут гра­ня­ми бу­ду­щих мно­го­гран­ни­ков. Как мы ви­дим, каж­дый тре­уголь­ник од­новре­мен­но ста­но­вит­ся гра­нью и в од­ном, и в дру­гом мно­го­гран­ни­ке. Тот мно­го­гран­ник, ко­то­рый стро­ит­ся сле­ва, бу­дет вы­пук­лым, тот, что спра­ва — невы­пук­лым.

Оба по­стро­ен­ных мно­го­гран­ни­ка — ок­та­эд­ры (хо­тя и не пра­виль­ные), т.е. име­ют по шесть вер­шин и во­семь гра­ней.

Что та­кое в жи­тей­ском смыс­ле объ­ём те­ла, в част­но­сти мно­го­гран­ни­ка? Это то, сколь­ко жид­ко­сти мо­жет быть на­ли­то внутрь это­го мно­го­гран­ни­ка. От­ре­жем вер­шин­ки и на­льём внутрь каж­до­го мно­го­гран­ни­ка во­ду. Вы­пук­лый мно­го­гран­ник уже на­пол­нил­ся, а невы­пук­лый — ещё нет. Но, воз­мож­но, во­да на­ли­ва­лась с раз­ной ско­ро­стью: чтобы пра­виль­но срав­нить объ­ё­мы, вы­льем жид­кость из каж­до­го мно­го­гран­ни­ка в оди­на­ко­вые ста­ка­ны. Уро­вень во­ды в пра­вом ста­кане вы­ше, чем в ле­вом, зна­чит, объ­ём невы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка дей­стви­тель­но боль­ше объ­ё­ма вы­пук­ло­го.

Ес­ли по­счи­тать ак­ку­рат­но, то мож­но вы­чис­лить, что от­но­ше­ние объ­ё­ма невы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка к объ­ё­му вы­пук­ло­го рав­но 1,163.

В на­шей за­да­че дей­стви­тель­но пра­виль­нее рас­смат­ри­вать от­но­ше­ние объ­ё­мов, а не их раз­ни­цу, так как от­но­ше­ние не за­ви­сит от раз­ме­ров из­на­чаль­ных тре­уголь­ни­ков, ис­поль­зо­ван­ных в ка­че­стве гра­ней для по­стро­е­ния мно­го­гран­ни­ков.

В рас­смот­рен­ном при­ме­ре объ­ём по­стро­ен­но­го невы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка бо­лее чем на 16% боль­ше объ­ё­ма вы­пук­ло­го. Дан­ные мно­го­гран­ни­ки вы мо­же­те ре­а­ли­зо­вать са­ми, ис­поль­зуя гра­ни с ука­зан­ны­ми сто­ро­на­ми. При этом, ес­ли цен­тры ок­та­эд­ров рас­по­ло­жить в на­ча­ле ко­ор­ди­нат, то, с точ­но­стью до по­во­ро­та, ко­ор­ди­на­ты вер­шин бу­дут та­кие, как при­ве­де­ны в филь­ме.

В филь­ме рас­смот­рен при­мер по­стро­е­ния двух мно­го­гран­ни­ков, пред­ло­жен­ный С. Н. Ми­халё­вым в 2002 го­ду, в то вре­мя ас­пи­ран­том ме­ха­ни­ко-ма­те­ма­ти­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ. Это луч­ший из из­вест­ных при­ме­ров (с мак­си­маль­ным из­вест­ным от­но­ше­ни­ем объ­ё­мов мно­го­гран­ни­ков).

Од­на­ко до сих пор неиз­вест­но, на­сколь­ко боль­шим мо­жет быть от­но­ше­ние объ­ё­ма невы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка к объ­ё­му вы­пук­ло­го, со­став­лен­но­го из тех же гра­ней. Этот во­прос ещё ждёт сво­е­го ис­сле­до­ва­те­ля!

Ли­те­ра­ту­ра

С. Н. Ми­халёв. Изо­мет­ри­че­ские ре­а­ли­за­ции ок­та­эд­ров Бри­ка­ра 1-го и 2-го ти­пов с из­вест­ны­ми зна­че­ни­я­ми объ­ё­ма // Фун­да­мен­таль­ная и при­клад­ная ма­те­ма­ти­ка. 2002. Т. 8. № 3. С. 755—768.

Обсуждение (сообщений: 3)

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»4

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке