Гар­мо­ния пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков

совместно с Николаем Петровичем Долбилиным, Алексеем Канелем

Видео

00:00|00:00

Картинки

Пра­виль­ные мно­го­гран­ни­ки ин­те­ре­со­ва­ли мно­гих ве­ли­ких учё­ных. И этот ин­те­рес вы­хо­дил да­ле­ко за пре­де­лы ма­те­ма­ти­ки. Пла­тон (427 до н.э. — 347 до н.э.) рас­смат­ри­вал их как ос­но­ву стро­е­ния Все­лен­ной, Кеплер (1571—1630) пы­тал­ся свя­зать пра­виль­ные мно­го­гран­ни­ки с дви­же­ни­ем планет Сол­неч­ной си­сте­мы (ко­то­рых в его вре­мя бы­ло из­вест­но пять). Воз­мож­но, имен­но кра­со­та и гар­мо­ния пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков за­став­ля­ла ве­ли­ких учё­ных про­шло­го пред­по­ла­гать ка­кое-то бо­лее глу­бо­кое их на­зна­че­ние, чем про­сто гео­мет­ри­че­ских объ­ек­тов.

Пра­виль­ным мно­го­гран­ни­ком на­зы­ва­ет­ся мно­го­гран­ник, все гра­ни ко­то­ро­го суть пра­виль­ные мно­го­уголь­ни­ки, все плос­кие уг­лы ко­то­ро­го рав­ны меж­ду со­бой и дву­гран­ные уг­лы ко­то­ро­го рав­ны меж­ду со­бой. (Плос­ки­ми уг­ла­ми мно­го­гран­ни­ка на­зы­ва­ют­ся уг­лы мно­го­уголь­ни­ков-гра­ней, дву­гран­ны­ми уг­ла­ми мно­го­гран­ни­ка на­зы­ва­ют­ся уг­лы меж­ду гра­ня­ми, име­ю­щи­ми об­щее реб­ро.)

За­ме­тим, что из это­го опре­де­ле­ния ав­то­ма­ти­че­ски сле­ду­ет вы­пук­лость пра­виль­но­го мно­го­гран­ни­ка, ко­то­рая в неко­то­рых кни­гах вклю­ча­ет­ся в опре­де­ле­ние.

В трёх­мер­ном про­стран­стве су­ще­ству­ет ров­но пять пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков: тет­ра­эдр, ок­та­эдр, куб (гек­са­эдр), ико­са­эдр, до­де­ка­эдр. То, что дру­гих пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков не су­ще­ству­ет, бы­ло до­ка­за­но Ев­кли­дом (око­ло 300 г. до н.э.) в его ве­ли­ких На­ча­лах.

Тет­ра­эд­ром (от греч. τετρά, в слож­ных сло­вах — че­ты­ре и έδρα — грань) на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ный мно­го­гран­ник, име­ю­щий 4 тре­уголь­ные гра­ни. У него 4 вер­ши­ны, 6 рё­бер. По­сколь­ку гра­ни тет­ра­эд­ра суть пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки, его плос­кие уг­лы рав­ны $\pi/3$. Дву­гран­ные уг­лы тет­ра­эд­ра рав­ны $\arccos(1/3) ≈ 70.53^\circ$.

Возь­мём в се­ре­ди­нах гра­ней тет­ра­эд­ра по точ­ке и со­еди­ним их меж­ду со­бой от­рез­ка­ми. Эти от­рез­ки рав­ны по длине и об­ра­зу­ют рав­но­сто­рон­ние тре­уголь­ни­ки. Точ­ки яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми, от­рез­ки — рёб­ра­ми, а тре­уголь­ни­ки — гра­ня­ми ещё од­но­го тет­ра­эд­ра.

Ана­ло­гич­ное по­стро­е­ние при­ме­ни­мо и в бо­лее об­щем слу­чае. Рас­смот­рим про­из­воль­ный вы­пук­лый мно­го­гран­ник и возь­мём точ­ки в се­ре­ди­нах его гра­ней. Со­еди­ним меж­ду со­бой точ­ки со­сед­них гра­ней от­рез­ка­ми. То­гда точ­ки яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми, от­рез­ки — рёб­ра­ми, а мно­го­уголь­ни­ки, ко­то­рые огра­ни­чи­ва­ют эти от­рез­ки, гра­ня­ми ещё од­но­го вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка. Этот мно­го­гран­ник на­зы­ва­ет­ся двой­ствен­ны­ми к ис­ход­но­му.

Как бы­ло по­ка­за­но вы­ше, двой­ствен­ным к тет­ра­эд­ру яв­ля­ет­ся тет­ра­эдр.

Уве­ли­чим раз­мер тет­ра­эд­ра, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны гра­ней ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра, до раз­ме­ров по­след­не­го. Во­семь вер­шин так рас­по­ло­жен­ных тет­ра­эд­ров яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми ку­ба.

Пе­ре­се­че­ни­ем этих тет­ра­эд­ров яв­ля­ет­ся ещё один пра­виль­ный мно­го­гран­ник — ок­та­эдр (от греч. οκτώ — во­семь). Ок­та­эдр име­ет 8 тре­уголь­ных гра­ней, 6 вер­шин, 12 рё­бер. Плос­кие уг­лы ок­та­эд­ра рав­ны $\pi/3$, по­сколь­ку его гра­ни яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми, дву­гран­ные уг­лы рав­ны $\arccos(–1/3) ≈ 107.47^\circ$.

От­ме­тим се­ре­ди­ны гра­ней ок­та­эд­ра и пе­рей­дём к двой­ствен­но­му к ок­та­эд­ру мно­го­гран­ни­ку. Это — куб или гек­са­эдр (от греч. εξά — шесть). У ку­ба гра­ни яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми. Он име­ет 6 гра­ней, 8 вер­шин, 12 рё­бер. Плос­кие уг­лы ку­ба рав­ны $\pi/2$, дву­гран­ные уг­лы так­же рав­ны $\pi/2$.

Ес­ли взять точ­ки на се­ре­ди­нах гра­ней ку­ба и рас­смот­реть двой­ствен­ный к нему мно­го­гран­ник, то мож­но убе­дить­ся, что им сно­ва бу­дет ок­та­эдр. Вер­но и бо­лее об­щее утвер­жде­ние: ес­ли для вы­пук­ло­го мно­го­гран­ни­ка по­стро­ить двой­ствен­ный, а за­тем двой­ствен­ный к двой­ствен­но­му, то им бу­дет ис­ход­ный мно­го­гран­ник (с точ­но­стью до по­до­бия).

Возь­мём на рёб­рах ок­та­эд­ра по точ­ке, с тем усло­ви­ем, чтобы каж­дая де­ли­ла реб­ро в со­от­но­ше­нии $1:(\sqrt5+1)/2$ (зо­ло­тое се­че­ние) и при этом точ­ки, при­над­ле­жа­щие од­ной гра­ни, яв­ля­лись вер­ши­на­ми пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка. По­лу­чен­ные 12 то­чек яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми ещё од­но­го пра­виль­но­го мно­го­гран­ни­ка — ико­са­эд­ра (от греч. είκοσι — два­дцать). Ико­са­эдр — это пра­виль­ный мно­го­гран­ник, у ко­то­ро­го 20 тре­уголь­ных гра­ней. Он име­ет 12 вер­шин, 30 рё­бер. Плос­кие уг­лы ико­са­эд­ра рав­ны $\pi/3$, дву­гран­ные рав­ны $\arccos(–1/3\cdot\sqrt5) ≈ 138.19^\circ$.

Ико­са­эдр мож­но впи­сать в куб. На каж­дой гра­ни ку­ба при этом ока­жет­ся по две вер­ши­ны ико­са­эд­ра.

По­вер­нём ико­са­эдр, «по­ста­вив» его на вер­ши­ну, и по­лу­чив его бо­лее при­выч­ный вид: две шап­ки из пя­ти тре­уголь­ни­ков у юж­но­го и се­вер­но­го по­лю­сов и сред­ний слой, со­сто­я­щий из де­ся­ти тре­уголь­ни­ков.

Се­ре­ди­ны гра­ней ико­са­эд­ра яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми ещё од­но­го пра­виль­но­го мно­го­гран­ни­ка — до­де­ка­эд­ра (от греч. δώδεκα — две­на­дцать). Гра­ни до­де­ка­эд­ра суть пра­виль­ные пя­ти­уголь­ни­ки. Та­ким об­ра­зом, его плос­кие уг­лы рав­ны $3\pi/5$. У до­де­ка­эд­ра 12 гра­ней, 20 вер­шин, 30 рё­бер. Дву­гран­ные уг­лы до­де­ка­эд­ра рав­ны $\arccos(–1/5\cdot\sqrt5) ≈116.57^\circ$.

Взяв се­ре­ди­ны гра­ней до­де­ка­эд­ра, и пе­рей­дя к двой­ствен­но­му ему мно­го­гран­ни­ку, по­лу­чим сно­ва ико­са­эдр. Итак, ико­са­эдр и до­де­ка­эдр двой­ствен­ны друг дру­гу. Это ещё раз ил­лю­стри­ру­ет тот факт, что двой­ствен­ным к двой­ствен­но­му бу­дет ис­ход­ный мно­го­гран­ник.

За­ме­тим, что при пе­ре­хо­де к двой­ствен­но­му мно­го­гран­ни­ку, вер­ши­ны ис­ход­но­го мно­го­гран­ни­ка со­от­вет­ству­ют гра­ням двой­ствен­но­го, рёб­ра — рёб­рам двой­ствен­но­го, а гра­ни — вер­ши­нам двой­ствен­но­го мно­го­гран­ни­ка. Ес­ли у ико­са­эд­ра 20 гра­ней, зна­чит у двой­ствен­но­го ему до­де­ка­эд­ра 20 вер­шин и у них оди­на­ко­вое чис­ло рё­бер, ес­ли у ку­ба 8 вер­шин, то у двой­ствен­но­го ему ок­та­эд­ра 8 гра­ней.

Су­ще­ству­ют раз­лич­ные спо­со­бы впи­сы­ва­ния пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков друг в дру­га, при­во­дя­щие ко мно­гим за­ме­ча­тель­ным кон­струк­ци­ям. Ин­те­рес­ные и кра­си­вые мно­го­гран­ни­ки по­лу­ча­ют­ся так­же при объ­еди­не­нии и пе­ре­се­че­нии пра­виль­ных мно­го­гран­ни­ков.

В до­де­ка­эдр впи­шем куб так, чтобы все 8 вер­шин ку­ба сов­па­да­ли с вер­ши­на­ми до­де­ка­эд­ра. Во­круг до­де­ка­эд­ра опи­шем ико­са­эдр так, чтобы его вер­ши­ны ока­за­лись в се­ре­ди­нах гра­ней ико­са­эд­ра. Во­круг ико­са­эд­ра опи­шем ок­та­эдр, так, чтобы вер­ши­ны ико­са­эд­ра ле­жа­ли на рёб­рах ок­та­эд­ра. На­ко­нец, во­круг ок­та­эд­ра опи­шем тет­ра­эдр так, чтобы вер­ши­ны ок­та­эд­ра по­па­ли на се­ре­ди­ны рё­бер тет­ра­эд­ра.

Та­кую кон­струк­цию из ку­соч­ков сло­ман­ных де­ре­вян­ных лыж­ных па­лок сде­лал ещё ре­бён­ком бу­ду­щий ве­ли­кий ма­те­ма­тик XX ве­ка В. И. Ар­нольд. Вла­ди­мир Иго­ре­вич хра­нил её дол­гие го­ды, а за­тем от­дал в ла­бо­ра­то­рию по­пуля­ри­за­ции и про­па­ган­ды ма­те­ма­ти­ки Ма­те­ма­ти­че­ско­го ин­сти­ту­та им. В. А. Стек­ло­ва.

Ли­те­ра­ту­ра

Г. С. М. Кокс­тер. Вве­де­ние в гео­мет­рию. — М.: На­у­ка, 1966.

Ж. Ада­мар. Эле­мен­тар­ная гео­мет­рия. Ч. 2. Сте­рео­мет­рия. — М.: Про­све­ще­ние, 1951.

Ев­клид. На­ча­ла Ев­кли­да. Кни­ги XXI—XXV. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Обсуждение (сообщений: 4)

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»4

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке