Сдвиг и по­во­рот

Видео

00:00|00:00

Шар­нир­ный ромб, со­сто­я­щий из зве­ньев оди­на­ко­вой дли­ны и ис­поль­зу­ю­щий пол­зу­ны, пе­ре­дви­га­ю­щи­е­ся по крас­но­му непо­движ­но­му стерж­ню, ре­а­ли­зу­ет на плос­ко­сти осе­вую сим­мет­рию. Дей­стви­тель­но, по­ло­же­ние од­но­го из зе­лё­ных шар­ни­ров за­да­ёт по­ло­же­ние и дли­ну про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ны сво­е­го тре­уголь­ни­ка, а тре­уголь­ни­ки, на­хо­дя­щи­е­ся по раз­ные сто­ро­ны от стерж­ня, все­гда рав­ны. Зна­чит, при лю­бом по­ло­же­нии ме­ха­низ­ма два зе­лё­ных шар­ни­ра сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но крас­но­го стерж­ня.

Возь­мём фигу­ру — кри­во­ли­ней­ный тре­уголь­ник — и по­смот­рим, во что она пе­рей­дёт под дей­стви­ем на­ше­го ме­ха­низ­ма. По­лу­чит­ся сим­мет­рич­ная фигу­ра. Она, в том чис­ле, рав­на из­на­чаль­ной, но по-дру­го­му ори­ен­ти­ро­ва­на. Т.е., ес­ли счи­тать плос­кость бес­ко­неч­ным ли­стом бу­ма­ги с на­ри­со­ван­ной на нём фигу­рой, то чтобы сов­ме­стить фигу­ру и её об­раз, необ­хо­ди­мо сло­жить лист по оси сим­мет­рии, при этом у од­ной его по­ло­вин­ки по­ме­ня­ет­ся верх с ни­зом.

При­ме­ним те­перь к уже по­лу­чив­ше­му­ся тре­уголь­ни­ку наш ме­ха­низм, ре­а­ли­зу­ю­щий сим­мет­рию, с осью, па­рал­лель­ной оси пер­во­го ме­ха­низ­ма. По­лу­чив­ший­ся тре­уголь­ник име­ет ту же ори­ен­та­цию, что и са­мый пер­вый, и по­лу­ча­ет­ся из него па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом, т.е. сдви­гом. Двой­ной па­рал­ле­ло­грамм с дву­мя крас­ны­ми за­креп­лён­ны­ми шар­ни­ра­ми ре­а­ли­зу­ет это пре­об­ра­зо­ва­ние на плос­ко­сти. Итак, ре­зуль­та­том двух осе­вых сим­мет­рий с па­рал­лель­ны­ми ося­ми яв­ля­ет­ся про­сто сдвиг. Вер­но и об­рат­ное — лю­бой па­рал­лель­ный пе­ре­нос мож­но раз­ло­жить в две осе­вые сим­мет­рии с па­рал­лель­ны­ми ося­ми. Как нетруд­но за­ме­тить, та­кое раз­ло­же­ние не един­ствен­но.

Та­кой ре­зуль­тат по­сле­до­ва­тель­ных отоб­ра­же­ний на­зы­ва­ет­ся в ма­те­ма­ти­ке ком­по­зи­ци­ей, а в тер­ми­но­ло­гии функ­ций — слож­ной функ­ци­ей. Так же, как и в ана­ли­ти­че­ской за­пи­си, ре­зуль­тат ком­по­зи­ции мож­но по­лу­чить, ли­бо по­сле­до­ва­тель­но вы­пол­няя со­став­ля­ю­щие её дей­ствия, ли­бо как-то пре­об­ра­зо­вав и при­ме­нив уже в «упро­щён­ном» ви­де. При этом пре­об­ра­зо­ван­ный объ­ект внешне мо­жет быть со­вер­шен­но не по­хож на из­на­чаль­ные, из ко­то­рых он по­лу­чал­ся.

А что же бу­дет, ес­ли оси сим­мет­рий не па­рал­лель­ны?

Ком­по­зи­ци­ей двух осе­вых сим­мет­рий с непа­рал­лель­ны­ми ося­ми яв­ля­ет­ся по­во­рот с цен­тром в точ­ке пе­ре­се­че­ния осей. При этом угол, на ко­то­рый по­во­ра­чи­ва­ет­ся фигу­ра, ра­вен удво­ен­но­му уг­лу меж­ду ося­ми. Как и в слу­чае со сдви­гом, вер­но и об­рат­ное — лю­бой по­во­рот на плос­ко­сти рас­кла­ды­ва­ет­ся на две осе­вые сим­мет­рии.

Шар­нир­ный ме­ха­низм, ос­но­ван­ный на ром­бе, ре­а­ли­зу­ет пре­об­ра­зо­ва­ние по­во­ро­та плос­ко­сти.

 А те­перь к плос­ко­сти (на при­ме­ре на­шей фигу­ры) при­ме­ним по­сле­до­ва­тель­но па­рал­лель­ный пе­ре­нос, а за­тем по­во­рот. Мож­но ли ка­ким-то од­ним пре­об­ра­зо­ва­ни­ем сов­ме­стить ис­ход­ную и ко­неч­ную фигу­ры?

Раз­ло­жим ис­поль­зо­ван­ный по­во­рот на две сим­мет­рии. Из этой кар­тин­ки вид­но, что этап по­лу­че­ния се­ро­го тре­уголь­ни­ка и по­том при­ме­не­ния к нему од­ной сим­мет­рии мож­но за­ме­нить про­сто на од­ну сим­мет­рию. А та­кая кар­тин­ка —  ком­по­зи­ция двух осе­вых сим­мет­рий с непа­рал­лель­ны­ми ося­ми — нам уже зна­ко­ма, это есть про­сто  по­во­рот.

На­ри­су­ем тре­уголь­ник на сто­ле. По­ло­жив ли­сток бу­ма­ги по­верх, об­ве­дём фигу­ру. Под­ни­мем ли­сто­чек и от­пу­стим, чтобы он слу­чай­ным об­ра­зом опу­стил­ся на стол, но при этом не пе­ре­вер­нул­ся. Тем са­мым по­лу­че­но, как го­во­рят ма­те­ма­ти­ки, «в об­щем ви­де» дви­же­ние плос­ко­сти — пре­об­ра­зо­ва­ние, со­хра­ня­ю­щее рас­сто­я­ния и не ме­ня­ю­щее ори­ен­та­цию. Ко­неч­но, мог­ло так слу­чить­ся, что фигу­ры от­ли­ча­ют­ся па­рал­лель­ным пе­ре­но­сом, но ве­ро­ят­ность, что ли­сто­чек ля­жет  так ак­ку­рат­но, очень ма­ла. Во всех дру­гих слу­ча­ях это — про­сто по­во­рот с неко­то­рым цен­тром на неко­то­рый угол!

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие этюды раздела «Шарнирные механизмы»6

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке