Ра­ду­га

Солн­це. Дождь. Ра­ду­га.

Учё­ные раз­ных вре­мён пы­та­лись объ­яс­нить это при­род­ное яв­ле­ние. Пол­ная тео­рия ра­ду­ги вы­хо­дит за рам­ки гео­мет­ри­че­ской и да­же вол­но­вой оп­ти­ки и тре­бу­ет мощ­но­го ма­те­ма­ти­че­ско­го ап­па­ра­та. В филь­ме да­ёт­ся пер­вое пред­став­ле­ние о ра­ду­ге, ко­то­рое, тем не ме­нее, за­ме­ча­тель­но и от­нюдь не про­сто. Это пред­став­ле­ние ос­но­ва­но на ра­бо­тах Рене Де­кар­та и Иса­а­ка Нью­то­на.

Рене Де­карт объ­яс­нил гео­мет­рию ра­ду­ги: её фор­му и рас­по­ло­же­ние на небе. Иса­ак Нью­тон «рас­кра­сил» ра­ду­гу, дав объ­яс­не­ние её цве­там.

Ве­ли­кий Иса­ак Нью­тон в сво­ём зна­ме­ни­том опы­те со стек­лян­ной приз­мой, без ко­то­ро­го те­перь не об­хо­дят­ся уро­ки физи­ки, раз­ло­жил бе­лый сол­неч­ный свет на цве­то­вые со­став­ля­ю­щие и про­де­мон­стри­ро­вал, что раз­ным цве­там со­от­вет­ству­ют раз­лич­ные по­ка­за­те­ли пре­лом­ле­ния. Это яв­ле­ние на­зы­ва­ет­ся дис­пер­си­ей све­та. Имен­но бла­го­да­ря дис­пер­сии ра­ду­га раз­но­цвет­ная.

Нью­тон вы­де­лил семь со­став­ля­ю­щих в по­лу­ча­ю­щем­ся спек­тре: крас­ный, оран­же­вый, жёл­тый, зе­лё­ный, го­лу­бой, си­ний, фио­ле­то­вый. Эти цве­та лег­ко за­пом­нить с по­мо­щью хо­ро­шо из­вест­но­го мне­мо­ни­че­ско­го пра­ви­ла «Каж­дый Охот­ник Же­ла­ет Знать, Где Си­дит Фа­зан». Ин­те­рес­но, что не во всех стра­нах вы­де­ля­ют семь цве­тов ра­ду­ги. На­при­мер, в Япо­нии — шесть.

Ра­ду­га об­ра­зу­ет­ся в на­хо­дя­щих­ся в воз­ду­хе кап­лях до­ждя. Чтобы по­нять, как имен­но это про­ис­хо­дит, рас­смот­рим ход сол­неч­ных лу­чей в од­ной кап­ле во­ды. Бу­дем счи­тать, что кап­ля име­ет фор­му ша­ра. (Рене Де­карт про­во­дил ты­ся­чи опы­тов со стек­лян­ной сфе­ри­че­ской кол­бой, на­пол­нен­ной во­дой.) В ви­ду сим­мет­рии путь лу­ча в кап­ле за­ви­сит толь­ко от его рас­сто­я­ния до цен­тра кап­ли. Рас­смот­рим лу­чи, ко­то­рые ле­жат в плос­ко­сти «Солн­це — глаз на­блю­да­те­ля — центр кап­ли».

По­сколь­ку Солн­це рас­по­ло­же­но очень да­ле­ко от Зем­ли, мож­но счи­тать, что лу­чи от него до­сти­га­ют зем­ную ат­мо­сфе­ру па­рал­лель­но друг дру­гу и угол их па­де­ния за­ви­сит толь­ко от вы­со­ты Солн­ца над го­ри­зон­том.

Об­ра­зу­ю­щие ра­ду­гу сол­неч­ные лу­чи по­па­да­ют из воз­ду­ха в кап­лю, а за­тем вы­хо­дят на­ру­жу, ис­пы­ты­вая при этом ряд пре­лом­ле­ний и от­ра­же­ний. На гра­ни­це двух сред, в дан­ном слу­чае во­ды и воз­ду­ха, все­гда про­ис­хо­дит и пре­лом­ле­ние, и от­ра­же­ние. Бу­дем рас­смат­ри­вать толь­ко та­кой ход лу­чей, ко­то­рый ин­те­ре­сен с точ­ки зре­ния об­ра­зо­ва­ния ра­ду­ги.

Рас­смот­рим сна­ча­ла те лу­чи, ко­то­рые по­па­ли на верх­нюю по­ло­ви­ну кап­ли. На вхо­де в кап­лю эти лу­чи пре­лом­ля­ют­ся, за­тем от­ра­жа­ют­ся от зад­ней стен­ки кап­ли и, сно­ва пре­лом­ля­ясь, вы­хо­дят на­ру­жу. При пре­лом­ле­нии про­ис­хо­дит дис­пер­сия и по­яв­ля­ют­ся цве­та.

Лу­чи па­да­ют на об­ра­щён­ную к Солн­цу по­верх­ность кап­ли рав­но­мер­но. На вы­хо­де из кап­ли лу­чи рас­пре­де­ле­ны уже нерав­но­мер­но. Раз­бе­рём­ся, ка­кие имен­но вы­хо­дя­щие лу­чи об­ра­зу­ют ра­ду­гу.

Луч, ко­то­рый по­пал в кап­лю точ­но по цен­тру, не пре­лом­ля­ет­ся (по­сколь­ку угол па­де­ния ра­вен $0^{\circ}$). От­ра­зив­шись от зад­ней по­верх­но­сти кап­ли, он вый­дет на­встре­чу па­да­ю­ще­му лу­чу. Лу­чи, ко­то­рые по­па­ли в кап­лю близ­ко к цен­тру, пре­лом­ля­ют­ся не силь­но (по­сколь­ку угол их па­де­ния бли­зок к $0^{\circ}$). По­сле от­ра­же­ния эти лу­чи вы­хо­дят по­чти на­встре­чу па­да­ю­щим, от­кло­нив­шись от воз­вра­ще­ния в об­рат­ном на­прав­ле­нии на неболь­шой угол. По ме­ре уда­ле­ния вхо­дя­щих лу­чей от цен­тра кап­ли этот угол рас­тёт, од­на­ко в неко­то­рый мо­мент до­сти­га­ет­ся мак­си­мум: лу­чи, от­сто­я­щие от цен­тра при­бли­зи­тель­но на $0,86$ ра­ди­у­са кап­ли, от­кло­ня­ют­ся силь­нее все­го. При даль­ней­шем уда­ле­нии от цен­тра кап­ли вплоть до тех лу­чей, ко­то­рые лишь ка­са­ют­ся кап­ли, угол умень­ша­ет­ся.

Для лу­чей крас­но­го цве­та ко­эф­фи­ци­ент пре­лом­ле­ния в филь­ме при­ни­мал­ся рав­ным $1,33$, что со­от­вет­ству­ет дей­стви­тель­но­сти. У всех осталь­ных цве­тов для боль­шей на­гляд­но­сти ко­эф­фи­ци­ен­ты бы­ли немно­го уве­ли­че­ны от­но­си­тель­но ре­аль­ных.

Око­ло мак­си­маль­но­го (ма­те­ма­ти­ки го­во­рят экс­тре­маль­но­го) зна­че­ния угол от­кло­не­ния ме­ня­ет­ся мед­лен­но, по­это­му про­ис­хо­дит «на­коп­ле­ние» вы­хо­дя­щих лу­чей. Имен­но эти лу­чи и вос­при­ни­ма­ют­ся как ра­ду­га.

Как уже бы­ло ска­за­но, по­ка­за­тель пре­лом­ле­ния для лу­чей раз­но­го цве­та раз­ный, по­это­му мак­си­маль­ный угол от­кло­не­ния так­же раз­ный. Для крас­но­го цве­та он ра­вен при­мер­но $42^{\circ}$. А для фио­ле­то­во­го — $41^{\circ}$. Лу­чи осталь­ных цве­тов ле­жат в про­ме­жут­ке меж­ду $41^{\circ}$ и $42^{\circ}$.

Гля­дя на кар­ти­ну про­хож­де­ния лу­ча све­та по кап­ле, за­ме­тим, что ес­ли из дан­ной кап­ли к на­блю­да­те­лю при­шёл, на­при­мер, жёл­тый цвет, то ни­ка­кой дру­гой цвет из этой кап­ли уже не мо­жет прий­ти (крас­ный пой­дёт ни­же, а си­ний — вы­ше на­блю­да­те­ля). Та­ким об­ра­зом, из каж­дой кап­ли ви­ден толь­ко один цвет.

Рас­смот­рим те­перь всё мно­же­ство ка­пель до­ждя. Ка­кие кап­ли участ­ву­ют в фор­ми­ро­ва­нии дан­но­го цве­та ра­ду­ги? Из ска­зан­но­го вы­ше сле­ду­ет, что, на­при­мер, фио­ле­то­вый цвет об­ра­зу­ют те и толь­ко те кап­ли, ко­то­рые ле­жат на пря­мой, об­ра­зу­ю­щей с при­хо­дя­щи­ми на зем­лю сол­неч­ны­ми лу­ча­ми угол $42^{\circ}$. Зна­чит, фио­ле­то­вый цвет ра­ду­ги ле­жит на по­верх­но­сти ко­ну­са с вер­ши­ной в на­блю­да­те­ле, осью, яв­ля­ю­щей­ся про­дол­же­ни­ем от­рез­ка «Солн­це — глаз на­блю­да­те­ля», и уг­лом рас­тво­ра $42^{\circ}$. Осталь­ные цве­та так­же ле­жат на по­верх­но­стях ко­ну­сов с той же осью и со­от­вет­ству­ю­щим этим цве­там уг­лам рас­тво­ра.

Ес­ли на­блю­да­тель смот­рит на ра­ду­гу, то Солн­це на­хо­дит­ся за его спи­ной. Го­во­рят, что ра­ду­га на­хо­дит­ся в «про­ти­во­сол­неч­ной точ­ке». Вы­со­та ра­ду­ги за­ви­сит от по­ло­же­ния Солн­ца. Са­мая боль­шая ра­ду­га по­лу­ча­ет­ся, ко­гда Солн­це близ­ко к го­ри­зон­ту.

Рас­смот­рим те­перь лу­чи Солн­ца, па­да­ю­щие на ниж­нюю часть кап­ли. В си­лу сим­мет­рии для них мож­но по­чти пол­но­стью по­вто­рить про­ве­дён­ное вы­ше рас­суж­де­ние. Од­на­ко то­гда лу­чи на вы­хо­де из кап­ли ухо­дят вверх, и на­блю­да­тель с Зем­ли их про­сто не ви­дит. Но воз­мож­но и дру­гое про­хож­де­ние пуч­ка све­та по кап­ле! Лу­чи мо­гут два ра­за от­ра­зить­ся от зад­ней стен­ки кап­ли и по­том вый­ти из неё.

Та­кое про­хож­де­ние лу­чей да­ёт вто­рую ра­ду­гу. Вто­рая ра­ду­га вид­на под уг­лом при­мер­но $52^{\circ}$ к на­прав­ле­нию «Солн­це — глаз на­блю­да­те­ля». Та­ким об­ра­зом, она вы­ше пер­вой. По­сколь­ку лу­чи от­ра­жа­лись от сте­нок кап­ли два ра­за, по­ря­док цве­тов в ней об­рат­ный — крас­ный цвет сни­зу, а фио­ле­то­вый свер­ху.

При каж­дом от­ра­же­нии ин­тен­сив­ность све­та ослаб­ля­ет­ся, по­это­му вто­рая ра­ду­га ме­нее яр­кая, чем пер­вая. Тео­ре­ти­че­ски су­ще­ству­ют и тре­тья ра­ду­га, и ра­ду­ги бо­лее вы­со­ких по­ряд­ков, но они не вид­ны при обыч­ных усло­ви­ях, по­сколь­ку по­лу­ча­ют­ся при мно­гих от­ра­же­ни­ях в кап­ле.

Вни­ма­тель­ный че­ло­век за­ме­тит тём­ную об­ласть неба, рас­по­ло­жен­ную меж­ду пер­вой и вто­рой ра­ду­га­ми. Де­ло в том, что по­сле вза­и­мо­дей­ствия с кап­ля­ми до­ждя, лишь неболь­шое ко­ли­че­ство лу­чей при­хо­дит к на­блю­да­те­лю под уг­ла­ми от $41^{\circ}$ до $52^{\circ}$. Ещё один не все­гда за­ме­ча­е­мый при­знак ра­ду­ги — свет­ло-тём­ные по­ло­сы сра­зу под фио­ле­то­вой ду­гой пер­вой ра­ду­ги. Од­на­ко их объ­яс­не­ние вы­хо­дит за рам­ки гео­мет­ри­че­ской оп­ти­ки.

Уви­деть в небе пол­ный круг ра­ду­ги сто­я­ще­му на Зем­ле на­блю­да­те­лю невоз­мож­но. Пол­ную ра­ду­гу — окруж­ность це­ли­ком, мож­но уви­деть в брыз­гах фон­та­на, рас­по­ло­жен­ных невы­со­ко над зем­лёй. А в небе пол­ную ра­ду­гу мож­но уви­деть с са­мо­лё­та.

Ли­те­ра­ту­ра

Р. Де­карт. О ра­ду­ге // Р. Де­карт. Рас­суж­де­ния о ме­то­де. С при­ло­же­ни­я­ми Ди­оп­три­ка, Ме­тео­ры, Гео­мет­рия / Ре­дак­ция, пе­ре­вод, ста­тьи и ком­мен­та­рии Г. Г. Слю­са­ре­ва, А. П. Юш­ке­ви­ча. — М.: Изд-во АН СССР, 1953. — С. 264—280.

И. Нью­тон. Оп­ти­ка, или Трак­тат об от­ра­же­ни­ях, пре­лом­ле­ни­ях, из­ги­ба­ни­ях и цве­тах све­та / Пе­ре­вод с тре­тье­го ан­глий­ско­го из­да­ния 1721 г. с при­ме­ча­ни­я­ми С. И. Ва­ви­ло­ва. — Из­да­ние вто­рое / Про­смот­рен­ное Г. С. Ланд­сбер­гом. — М.: ГИТТЛ, 1954. — (Клас­си­ки есте­ство­зна­ния. Ма­те­ма­ти­ка, ме­ха­ни­ка, физи­ка, аст­ро­но­мия.)

В. И. Ар­нольд. Ра­ду­га // В. И. Ар­нольд. Ма­те­ма­ти­че­ское по­ни­ма­ние при­ро­ды. — М.: МЦНМО, 2010.

Х. Нус­сен­цвейг. Тео­рия ра­ду­ги // Успе­хи физи­че­ских на­ук. 1989. Т. 125. С. 527—547.

Обсуждение (сообщений: 1)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке