Экра­ни­ро­вать луч

Мож­но ли так рас­ста­вить круг­лые зер­каль­ные ко­лон­ны, чтобы луч, иду­щий па­рал­лель­но по­лу, не до­сти­гал сте­ны ни при ка­ком из­на­чаль­ном на­прав­ле­нии? Ко­лон­ны с зер­каль­ной ци­лин­дри­че­ской бо­ко­вой по­верх­но­стью мо­гут быть про­из­воль­но­го диа­мет­ра и по­став­ле­ны в лю­бую точ­ку с усло­ви­ем, что они не ка­са­ют­ся друг дру­га (в та­ком слу­чае за­да­ча три­ви­аль­на).

Как из­вест­но, от­ра­же­ние от зер­ка­ла про­ис­хо­дит по пра­ви­лу «угол па­де­ния ра­вен уг­лу от­ра­же­ния». В слу­чае, ес­ли зер­ка­ло неплос­кое, то уг­лом меж­ду лу­чом и по­верх­но­стью зер­ка­ла на­зы­ва­ет­ся угол с ка­са­тель­ной плос­ко­стью, про­ве­дён­ной в точ­ке па­де­ния лу­ча.

Сколь­ко до­ста­точ­но ко­лонн и ка­ко­во долж­но быть их рас­по­ло­же­ние, чтобы луч был экра­ни­ро­ван и не до­стиг стен­ки? Хва­тит ко­неч­но­го чис­ла зер­кал или их нуж­но бес­ко­неч­но мно­го? А мо­жет, и бес­ко­неч­но­го чис­ла не хва­тит?

По­нят­но, что од­ной ко­лон­ны не хва­тит. Луч мо­жет прой­ти ми­мо неё, но да­же ес­ли он и по­па­дёт в ко­лон­ну, то по­сле от­ра­же­ния всё рав­но до­стигнет сте­ны. Та­ким об­ра­зом, при лю­бом на­чаль­ном на­прав­ле­нии луч па­да­ет на сте­ну.

Оче­вид­но, что и двух, и трёх ко­лонн недо­ста­точ­но — из цен­тра за­ла по неко­то­рым на­прав­ле­ни­ям бу­дет вид­на сте­на. И зна­чит, луч, пу­щен­ный в этих на­прав­ле­ни­ях, до­стигнет её.  

Ин­ту­и­ция под­ска­зы­ва­ет, а экс­пе­ри­мент под­твер­жда­ет, что ма­ло­го ко­ли­че­ства ко­лонн недо­ста­точ­но для экра­ни­ро­ва­ния лу­ча.

По­ста­вим мно­го ко­лонн и вы­пу­стим лу­чи «во всех» на­прав­ле­ни­ях. Экс­пе­ри­мент по­ка­зы­ва­ет, что лу­чи до­стиг­нут сте­ны.

Од­на­ко экс­пе­ри­мент — это ещё не до­ка­за­тель­ство. Мо­жет быть, на­до бы­ло рас­ста­вить ко­лон­ны как-то по-дру­го­му или же взять на несколь­ко ко­лонн боль­ше… До сих пор ма­те­ма­ти­ки не зна­ют, до­ста­точ­но ли ка­ко­го-ли­бо ко­неч­но­го ко­ли­че­ства (пусть и очень боль­шо­го) ко­лонн для экра­ни­ро­ва­ния лу­ча. Ес­ли до­ста­точ­но, то ка­ко­вы долж­ны быть их диа­мет­ры и рас­по­ло­же­ние? А мо­жет быть, и бес­ко­неч­но­го чис­ла ко­лонн не хва­тит для ре­ше­ния по­став­лен­ной за­да­чи?

Быть мо­жет, вы при­ду­ма­е­те, как нуж­но рас­ста­вить ко­лон­ны?

Обсуждение (сообщений: 8)

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке