Раз­вёрт­ка

Что та­кое раз­вёрт­ка мно­го­гран­ни­ка? Вы ска­же­те — ку­сок кар­то­на, из ко­то­ро­го мож­но свер­нуть дан­ный мно­го­гран­ник. В этом есть прав­да, но это не вся прав­да. Ока­зы­ва­ет­ся, по­ня­тие раз­вёрт­ки вклю­ча­ет в се­бя боль­ше, чем про­сто ку­сок кар­то­на.

Ка­кой мно­го­гран­ник мож­но свер­нуть из столь хо­ро­шо из­вест­но­го ла­тин­ско­го кре­ста? Ко­неч­но же, куб. Для это­го на­до по­кра­сить реб­ра, как это сде­ла­ла на­ша вол­шеб­ная ки­сточ­ка (рёб­ра оди­на­ко­во­го цве­та скле­и­ва­ют­ся в мно­го­гран­ни­ке друг с дру­гом).

На са­мом де­ле, ко­неч­но же, луч­ше бы­ло бы рас­кра­ши­вать не реб­ра, а каж­дую па­ру то­чек в один цвет. Это бы за­да­ло, как го­во­рят в ма­те­ма­ти­ке, усло­вия склей­ки гра­ниц.

По­сле то­го как усло­вия склей­ки гра­ниц за­да­ны, рёб­ра, про­хо­дя­щие внут­ри кус­ка кар­то­на, опре­де­ле­ны од­но­знач­но по тео­ре­ме А. Д. Алек­сан­дро­ва.

Итак, из кре­ста мож­но сло­жить куб.

Но ока­зы­ва­ет­ся, что ес­ли усло­вия склей­ки гра­ниц за­дать по-дру­го­му, то мож­но по­лу­чить со­всем да­же не куб!

На­ша вол­шеб­ная ки­сточ­ка по­кра­си­ла гра­ни­цы вот та­ким об­ра­зом. Ещё один её взмах — и мы уже зна­ем, как опре­де­ле­ны рёб­ра внут­ри кус­ка кар­то­на. Ес­ли те­перь, сле­дуя на­ри­со­ван­ным усло­ви­ям склей­ки, сло­жить мно­го­гран­ник, то по­лу­чим пи­ра­ми­ду!

Не так дав­но бы­ло до­ка­за­но, что по-раз­но­му за­да­вая усло­вия склей­ки гра­ниц ла­тин­ско­го кре­ста, из него мож­но сло­жить 5 раз­лич­ных ти­пов вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков.

Итак, как мы убе­ди­лись, в по­ня­тие раз­вёрт­ки вхо­дит не толь­ко ку­сок кар­то­на, но и усло­вия склей­ки его гра­ниц. Ес­ли по­след­нее не опре­де­ле­но, то из од­но­го и то­го же кус­ка мож­но сло­жить раз­ные вы­пук­лые мно­го­гран­ни­ки.

Ли­те­ра­ту­ра

А. Д. Алек­сан­дров. Вы­пук­лые мно­го­гран­ни­ки.

Anna Lubiw, Joseph O'Rourke. When Does a Polygon Fold to a Polytope

E. Demaine. 85 ва­ри­ан­тов сло­же­ния ла­тин­ско­го кре­ста

Н. П. Дол­би­лин. Три тео­ре­мы о вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ках.
  Часть 1 // Квант. 2001. N 5. С. 7—12.
  Часть 2 // Квант. 2001. N 6. С. 3—10.

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке