Мя­тый рубль

Видео

00:00|00:00

Картинки

По­сле вой­ны, в 1947 го­ду, в СССР бы­ли вве­де­ны день­ги но­во­го об­раз­ца. И хо­тя в 1956 го­ду Ка­ре­ло-Фин­ская Со­вет­ская Со­ци­а­ли­сти­че­ская рес­пуб­ли­ка бы­ла воз­вра­ще­на в со­став РСФСР, и, со­от­вет­ствен­но, ко­ли­че­ство лен­то­чек на гер­бе умень­ши­лось, год на банк­но­тах ме­нять не ста­ли.

В том же 1956 го­ду Вла­ди­мир Иго­ре­вич Ар­нольд по­ста­вил за­да­чу о мя­том руб­ле. Мож­но ли сло­жить пря­мо­уголь­ный лист бу­ма­ги (рубль) в плос­кий мно­го­уголь­ник так, чтобы пе­ри­метр ко­неч­но­го мно­го­уголь­ни­ка был боль­ше пе­ри­мет­ра ис­ход­но­го пря­мо­уголь­ни­ка?

В 1961 го­ду на­шу стра­ну по­стиг­ла но­вая ре­фор­ма де­нег. Ди­зайн рублё­вой банк­но­ты из­ме­нил­ся, её физи­че­ский раз­мер стал го­раз­до мень­ше. К это­му вре­ме­ни за­да­ча всё ещё не бы­ла ре­ше­на.

Кро­ме то­го, что по­ло­жи­тель­ный от­вет «мож­но» про­ти­во­ре­чит ин­ту­и­ции, есть и ма­те­ма­ти­че­ские до­во­ды в поль­зу от­ри­ца­тель­но­го от­ве­та. Ес­ли сло­жить пря­мо­уголь­ник вдоль пря­мой, то пе­ри­метр толь­ко умень­шит­ся: к уже су­ще­ство­вав­шей гра­ни­це при­бав­ля­ет­ся от­ре­зок той пря­мой, вдоль ко­то­рой скла­ды­ва­ет­ся, а уко­ра­чи­ва­ет­ся гра­ни­ца на ло­ма­ную с те­ми же кон­ца­ми, что и от­ре­зок. Ес­ли сде­лать ана­ло­гич­ную опе­ра­цию — сло­жить от­но­си­тель­но пря­мой весь уже по­лу­чив­ший­ся мно­уголь­ник, — то си­ту­а­ция бу­дет та­кая же: пе­ри­метр уве­ли­чи­ва­ет­ся на дли­ну от­рез­ка, а умень­ша­ет­ся на дли­ну ло­ма­ной. Та­кое скла­ды­ва­ние — от­но­си­тель­но пря­мой — на­зы­ва­ет­ся «про­стым» и все­гда толь­ко умень­ша­ет пе­ри­метр. Но это толь­ко до­во­ды, но ещё не до­ка­за­тель­ство.

Так мож­но или нель­зя уве­ли­чить пе­ри­метр из­на­чаль­но­го пря­мо­уголь­ни­ка? В ре­фор­мах 1991 и 1993 го­дов рубль об­раз­ца 61 го­да был вы­ве­ден из об­ра­ще­ния, а за­да­ча В. И. Ар­ноль­да так и оста­ва­лась нере­шён­ной.

С тех пор один рос­сий­ский рубль — это, к со­жа­ле­нию, на­столь­ко ма­ло, что бу­маж­ных банк­нот та­ко­го до­сто­ин­ства уже не вы­пус­ка­ют, лишь ме­тал­ли­че­ские мо­не­ты.

В на­ча­ле XXI ве­ка за­да­ча всё же бы­ла ре­ше­на. Пер­вое ма­те­ма­ти­че­ски стро­гое ре­ше­ние дал уче­ник Ни­ко­лая Пет­ро­ви­ча Дол­би­ли­на — Алек­сей Та­ра­сов. Он пред­ло­жил ал­го­ритм, как скла­ды­вать квад­рат так, чтобы в ито­ге по­лу­чил­ся плос­кий мно­го­уголь­ник с боль­шим пе­ри­мет­ром.

Для тех, кто хо­чет про­сто лю­бо­вать­ся филь­мом, сле­ду­ю­щий аб­зац мож­но про­пу­стить. Для же­ла­ю­щих по­нять опи­шем спо­соб сло­же­ния по­дроб­но.

Возь­мём квад­рат­ный лист бу­ма­ги и разо­бьём его на клет­ки, на­при­мер, 4×4. Рас­кра­сим  клет­ки в шах­мат­ном по­ряд­ке в две крас­ки и в каж­дом квад­ра­те из цен­тра пу­стим опре­де­лён­ное ко­ли­че­ство лу­чей. Рас­ста­вим в крас­ных квад­ра­тах зе­лё­ные звёз­доч­ки так, чтобы их раз­мер уве­ли­чи­вал­ся при хож­де­нии по спи­ра­ли. Те­перь сло­жим лист бу­ма­ги в по­лос­ку, за­тем в пря­мо­уголь­ник, и в са­мом кон­це — в тре­уголь­ник. Эта слой­ка устро­е­на сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Есть несколь­ко си­них сло­ев в од­ной по­ло­вине, а в дру­гой по­ло­вине — крас­ные слои. Спо­соб по­стро­е­ния зе­лё­ных звёз­до­чек был та­ков, что по­сле про­ве­дён­но­го сло­же­ния они умень­ша­ют­ся к се­ре­дине мно­го­слой­но­го тре­уголь­ни­ка, как бы вло­же­ны друг в дру­га. Нач­нём сми­нать слой­ку так, чтобы си­ние слои шли вы­пук­лым об­ра­зом на­ру­жу и крас­но-зе­лё­ные слои то­же. Мы по­лу­ча­ем по­верх­ность, ко­то­рая, в кон­це кон­цов, скла­ды­ва­ет­ся в плос­кий мно­го­уголь­ник.

У по­лу­чив­ше­го­ся мно­го­уголь­ни­ка есть крас­ное ос­но­ва­ние (си­ние тре­уголь­ни­ки на­хо­дят­ся там же, внут­ри слой­ки) и зе­лё­ная гре­бён­ка. При этом у гре­бён­ки иго­лок столь­ко же, сколь­ко бы­ло зе­лё­ных звёз­до­чек, т. е. крас­ных квад­ра­тов.

А уве­ли­чил­ся ли пе­ри­метр от­но­си­тель­но из­на­чаль­но­го квад­ра­та? Ре­ше­на ли по­став­лен­ная за­да­ча? Ес­ли срав­нить фигу­ры, то вид­но, что пе­ри­метр силь­но умень­шил­ся. За­чем же то­гда скла­ды­ва­ли та­ким слож­ным спо­со­бом?

На кон­крет­ном при­ме­ре был рас­смот­рен об­щий ал­го­ритм. И в этом ал­го­рит­ме есть два па­ра­мет­ра — ко­ли­че­ство кле­ток в раз­би­е­нии из­на­чаль­но­го квад­ра­та и ко­ли­че­ство лу­чей в каж­дом квад­ра­те. По­смот­рим, что бу­дет, ес­ли ме­нять эти па­ра­мет­ры.

При том же раз­би­е­нии 4×4 бу­дем уве­ли­чи­вать ко­ли­че­ство лу­чей внут­ри каж­дой клет­ки. Это при­ве­дёт к утонь­ше­нию иго­ло­чек гре­бён­ки, их мень­ше­му пе­ре­се­че­нию и, со­от­вет­ствен­но, неболь­шо­му уве­ли­че­нию пе­ри­мет­ра.

Есть ещё вто­рой па­ра­метр — ко­ли­че­ство кле­ток раз­би­е­ния из­на­чаль­но­го квад­ра­та. Ес­ли уве­ли­чи­вать этот па­ра­метр, то по по­стро­е­нию бу­дет уве­ли­чи­вать­ся и ко­ли­че­ство иго­лок в гре­бён­ке.

Сов­мест­ное уве­ли­че­ние обо­их па­ра­мет­ров — и ко­ли­че­ства кле­ток, и ко­ли­че­ства лу­чей в каж­дой клет­ке — да­ёт уве­ли­че­ние пе­ри­мет­ра. На­сколь­ко же он мо­жет уве­ли­чи­вать­ся? Ока­зы­ва­ет­ся, до бес­ко­неч­но­сти. А это зна­чит, что в ка­кой-то мо­мент он станет боль­ше, чем пе­ри­метр из­на­чаль­но­го квад­ра­та!

За­да­ча о мя­том руб­ле — по­скла­ды­вать пря­мо­уголь­ник и уве­ли­чить пе­ри­метр — ре­ше­на. Но сколь­ко же раз на­до скла­ды­вать? До­воль­но мно­го. Из ра­бо­ты А. Та­ра­со­ва мож­но по­лу­чить оцен­ку: при раз­би­е­нии 16×16 и ко­ли­че­стве лу­чей в каж­дой клет­ке 16²·30 пе­ри­метр по­лу­чив­ше­го­ся мно­го­уголь­ни­ка бу­дет боль­ше, чем пе­ри­метр из­на­чаль­но­го квад­ра­та.

В филь­ме это по­ка­зать нель­зя, а мож­но ли сде­лать в жиз­ни? Вы на­вер­ня­ка хо­ро­шо помни­те, что сло­жить лист бу­ма­ги, да­же очень тон­кой, мож­но не бо­лее 7—8 раз.  Ес­ли дав­но это не де­ла­ли — про­верь­те про­стым экс­пе­ри­мен­том.  Так что же да­ёт са­ма за­да­ча, по­став­лен­ная В. И. Ар­ноль­дом, и та­кой «нере­а­ли­зу­е­мый» ал­го­ритм? От­та­чи­ва­ние ин­стру­мен­та на­у­ки, ко­то­рый на­вер­ня­ка при­го­дит­ся в даль­ней­шем её раз­ви­тии.

Ли­те­ра­ту­ра

В. И. Ар­нольд. За­да­ча 1956-1 // За­да­чи Ар­ноль­да. Фа­зис, 2000. С. 2.

А. Та­ра­сов. Ре­ше­ние за­да­чи Ар­ноль­да о «мя­том руб­ле» // Че­бы­шев­ский сбор­ник. 2004. Вып. 1. Т. 5. С. 174—187.

А. Пет­ру­нин. Плос­кое ори­га­ми и длин­ный рубль. arXiv:1004.0545v1.

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке