Из­ги­ба­е­мые мно­го­гран­ни­ки

Ес­ли вам при­хо­ди­лось со­би­рать до­ма шкаф, то вы пре­крас­но помни­те, что по­ка не при­би­та зад­няя стен­ка, он из­ги­ба­ет­ся. Как толь­ко зад­няя стен­ка по­став­ле­на на ме­сто, шкаф — неза­мкну­тый мно­го­гран­ник с кра­ем — ста­но­вит­ся жёст­ким. Ес­ли к нему до­ба­вить пе­ред­нюю стен­ку или сде­лать на крае лю­бую дру­гую над­строй­ку, за­мы­ка­ю­щую мно­го­гран­ник, то жёст­кость, ко­неч­но, оста­нет­ся.

Бы­ва­ют ли за­мкну­тые из­ги­ба­е­мые мно­го­гран­ни­ки?

От­вет на этот во­прос дол­го не мог­ли най­ти. Как обыч­но в на­у­ке, при ис­сле­до­ва­нии за­да­чи сле­ду­ет рас­смот­реть бо­лее про­стой слу­чай. В слу­чае за­да­чи об из­ги­ба­е­мых мно­го­гран­ни­ках — рас­смот­реть за­да­чу не в про­стран­стве, а на плос­ко­сти, где ана­ло­гом мно­го­гран­ни­ка яв­ля­ет­ся мно­го­уголь­ник.

Бы­ва­ют ли из­ги­ба­е­мые мно­го­уголь­ни­ки? Т.е. та­кие, у ко­то­рых сто­ро­ны фик­си­ро­ва­ны, в уг­лах воз­мож­но из­ги­ба­ние (в плос­ко­сти), а са­ми мно­го­уголь­ни­ки ме­ня­ют фор­му? Та­кую мо­дель каж­дый мо­жет из­го­то­вить из про­во­ло­ки, ис­поль­зуя стан­дарт­ное со­еди­не­ние в уг­лах.

Ес­ли та­ким спо­со­бом сде­лать тре­уголь­ник, то он не бу­дет из­ги­бать­ся. Т.е. дли­ны сто­рон пол­но­стью опре­де­ля­ют тре­уголь­ник. А зна­чит, опре­де­ля­ют и его пло­щадь — фор­му­ла Ге­ро­на поз­во­ля­ет вы­чис­лять её, ис­хо­дя толь­ко из длин сто­рон.

Ес­ли же сде­лать про­во­лоч­ный че­ты­рёх- или пя­ти­уголь­ник, или же мно­го­уголь­ник с бóльшим ко­ли­че­ством вер­шин, то лю­бой из них бу­дет из­ги­бать­ся. Как след­ствие, ана­ло­га фор­му­лы Ге­ро­на — фор­му­лы для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди мно­го­уголь­ни­ка, ис­хо­дя толь­ко из длин сто­рон — при ко­ли­че­стве уг­лов боль­шем трёх, быть не мо­жет.

Вер­нём­ся в про­стран­ство. Что же та­кое из­ги­ба­е­мый мно­го­гран­ник, ес­ли он су­ще­ству­ет? По ана­ло­гии с плос­кой за­да­чей, гра­ни (име­ю­щие раз­мер­ность на еди­ни­цу мень­ше раз­мер­но­сти про­стран­ства) долж­ны быть жёст­ки­ми пла­сти­на­ми. А дву­гран­ный угол, со­еди­ня­ю­щий лю­бые две гра­ни, дол­жен иметь воз­мож­ность ме­нять­ся, как буд­то реб­ро («грань», име­ю­щая раз­мер­ность один) ре­а­ли­зо­ва­но с по­мо­щью ро­яль­ной пет­ли.

Да­вай­те рас­смот­рим пра­виль­ные мно­го­гран­ни­ки. Ес­ли сде­лать их мо­де­ли «на ро­яль­ных пет­лях» в ка­че­стве ре­бер, то мож­но убе­дить­ся, что из­ги­бать­ся они не бу­дут. Ока­зы­ва­ет­ся, это об­щий факт для вы­пук­лых мно­го­гран­ни­ков. Тео­ре­ма, до­ка­зан­ная фран­цуз­ским ма­те­ма­ти­ком Огю­сте­ном Луи Ко­ши (1789—1857) в 1813 го­ду, го­во­рит о том, что вы­пук­лый мно­го­гран­ник с дан­ным на­бо­ром гра­ней и усло­ви­я­ми их склей­ки един­стве­нен. Т.е. вы­пук­лый мно­го­гран­ник из­ги­ба­е­мым не бы­ва­ет.

Пер­вые ма­те­ма­ти­че­ские при­ме­ры из­ги­ба­е­мых мно­го­гран­ни­ков, есте­ствен­но, невы­пук­лых, а так­же клас­си­фи­ка­ция этих объ­ек­тов бы­ли по­стро­е­ны бель­гий­ским ин­же­не­ром Рене Бри­ка­ром в 1897 го­ду. Ма­те­ма­ти­че­ские, по­то­му что эти мно­го­гран­ни­ки бы­ли не толь­ко невы­пук­лы­ми, но и са­мо­пе­ре­се­ка­ю­щи­ми­ся — их гра­ни пе­ре­се­ка­лись друг с дру­гом. С точ­ки зре­ния ма­те­ма­ти­ка, это то­же мно­го­гран­ник, од­на­ко ре­а­ли­зо­вать его в на­шем трёх­мер­ном про­стран­стве невоз­мож­но. В 1975 го­ду аме­ри­кан­ский ма­те­ма­тик Ро­берт Кон­нел­ли при­ду­мал, как из­ба­вить­ся от пе­ре­се­че­ния (так на­зы­ва­е­мые «за­руб­ки Кон­нел­ли»), и по­яви­лись «на­сто­я­щие» из­ги­ба­е­мые мно­го­гран­ни­ки. Са­мый про­стой, из­вест­ный на се­го­дняш­ний день, со­сто­я­щий из 9 вер­шин, 17 рё­бер и 14 гра­ней, бу­дет сей­час по­стро­ен. Его в 1978 го­ду при­ду­мал немец­кий ма­те­ма­тик Клаус Штеф­фен.

Раз­вёрт­ка мно­го­гран­ни­ка Штеф­фе­на со­сто­ит из двух оди­на­ко­вых ча­стей и «крыш­ки».  Да­же пом­ня внеш­ний вид раз­вёрт­ки, но не зная длин рё­бер, по­стро­ить та­кой мно­го­гран­ник са­мо­му слож­но: воз­мож­ность из­ги­бать­ся — это всё же ис­клю­че­ние для мно­го­гран­ни­ков, и та­ких от­но­си­тель­но ма­ло.

Ко­гда ма­те­ма­ти­ки по­ня­ли, что из­ги­ба­е­мые мно­го­гран­ни­ки бы­ва­ют, воз­ник во­прос, по­лу­чив­ший на­зва­ние «ги­по­те­зы куз­неч­ных ме­хов». За счёт че­го куз­неч­ные ме­хи раз­ду­ва­ют уг­ли? За счёт че­го иг­ра­ет гар­монь? Их прин­цип дей­ствия ос­но­ван на из­ме­не­нии внут­рен­не­го объ­ё­ма. А что же из­ги­ба­е­мые мно­го­гран­ни­ки — бу­дет ли ме­нять­ся их объ­ём при из­ги­ба­нии? Мож­но ли куз­неч­ные ме­хи или гар­монь де­лать не из ко­жи, а из жёст­ких пла­стин, в ви­де мно­го­гран­ни­ков?

В кон­це XX ве­ка пол­ный от­вет на этот во­прос был най­ден рос­сий­ским ма­те­ма­ти­ком И. Х. Са­би­то­вым. Ока­зы­ва­ет­ся, для объ­ё­мов мно­го­гран­ни­ков, в том чис­ле из­ги­ба­е­мых, ве­рен некий ана­лог фор­му­лы Ге­ро­на для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка. А имен­но, су­ще­ству­ет та­кой мно­го­член од­ной пе­ре­мен­ной, что его ко­эф­фи­ци­ен­ты за­ви­сят толь­ко от длин рё­бер мно­го­гран­ни­ка, а объ­ём есть ко­рень это­го мно­го­чле­на. Так как рёб­ра у из­ги­ба­е­мых мно­го­гран­ни­ков не ме­ня­ют­ся, то и сам этот мно­го­член, а зна­чит, и его кор­ни не ме­ня­ют­ся при из­ги­ба­нии са­мо­го мно­го­гран­ни­ка. Но раз­лич­ные кор­ни мно­го­чле­на од­ной пе­ре­мен­ной суть кон­крет­ные чис­ла, рас­по­ло­жен­ные друг от дру­га на ка­ком-то рас­сто­я­нии. При ма­лых ше­ве­ле­ни­ях мно­го­гран­ни­ка объ­ём мо­жет ме­нять­ся ма­ло, по­это­му не мо­жет рез­ко пе­ре­прыг­нуть из од­но­го кор­ня мно­го­чле­на в дру­гой. Зна­чит, объ­ём из­ги­ба­е­мых мно­го­гран­ни­ков не ме­ня­ет­ся при их из­ги­ба­ни­ях!

Мы рас­смот­ре­ли во­прос об из­ги­ба­е­мых мно­го­гран­ни­ках в обыч­ном трёх­мер­ном про­стран­стве. А что про­ис­хо­дит в бóльших раз­мер­но­стях? Со­всем недав­но, в 2012 го­ду, мо­ло­дой рос­сий­ский ма­те­ма­тик Алек­сандр Гай­фул­лин обоб­щил тео­ре­му Са­би­то­ва об ин­ва­ри­ант­но­сти объ­ё­ма из­ги­ба­е­мых мно­го­гран­ни­ков на мно­го­мер­ные про­стран­ства.

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»4

 

Другие проекты фонда «Математические этюды»

При поддержке